19. 解：(1)?SA?AD,AB?AD，?AD?平面SAB，?AD?SB,又?SB?AB，
?SB?平面ABCD.?????4分
(2)如图，建立空间直角坐标系.
?SA?2a,?AB?a,AD?23a,SA?3a.
?a3a?a??,N??M??,0,?,23a,0??. ?2??22????3a???， ?MN??0,23a,?2????3a???51a.??8分 则MN?02?(23a)2????2?2??(3)?A(?a,0,0),S(0,0,3a),?SA?(?a,0,?3a). 又?B(0,0,0),D(?a,23a,0),?BD?(?a,23a,0).
SA?BD ???12?cos?SA,BD??22222226(?a)?0?(?3a)?(?a)?(23a)?0SA?BD??2(?a)2?0?23a?(?3a)?013分
20. 解：设P?kk(k为常数)，则P???????????2分 S15(t?1)当t?0.5秒时，p1?0.8，则k?18 ??????????4分
186?P?????6分 ?当t?1秒时，p2?0.6??????8分
15(t?1)5(t?1)
????2????2????????????????21. 解：由(PQ?2PC)?(PQ?2PC)?0得PQ?4PC?0 设P(x,y)，则(x?4)2?4[(x?1)2?y2]
因此P?p1?(1?p1)p2?0.8?(1?0.8)?0.6?0.92?????12分
x2y2x2y2??1，故P得轨迹方程为??1. 化简得4343（2）设直线l?:y?kx?2(k?0,且k存在)，A（x1,y1）、B（x2,y2），联立方程组 ??y?kx?2?x2y2 得：(3?4k2)x2?16kx?4?0 ??4?3?1∴△?(16k)2?16(3?4k2)?0?k?12或k??12??????（*）
?x?x16k则??12??2?3?4k ?xx?4????OA???123?4k2????OB?????OA?????OB??0?(x1,y1)(x2,y2)?0?x1x2?y1y2?0，而y1?2k1?,x得 ?y2?kxx1x2?(kx1?2)(kx2?2)?0即(1?k2)x1x2?2k(x1?x2)?4?0，代入得：
(1?k2)43?4k2?2k(?16k3?4k2)?4?0?4?4k2?32k2?4(3?4k2)?0 ?k2?4233?k??3满足（*）式，故存在直线l?。方程是l?:y??233x?2.
22.（14分）解：（成都二诊）（文） ?S112?2S1?a， ?a1?a2?2a1?a.又a1?2,a2?1,?a?2.??（3分）（Ⅱ）?S1n?1?2Sn?2，而n?2时，an?Sn?Sn?1?S12?12S1n?1?Sn?Snn?1，即an?1?2an(n?2).??（2分）而a12?2a1,??a12[1?(1n?是等比数列，其公比q?2)n]2.??（1分）?Sn??4?4.??（1?12n1分）2(Ⅲ)假设存在正整数m、n，使得Sn?mS?1成立，n?1?m2
由
486?m2(4?m)?n(4?m)?nn122?1?0?2?0即是??2224?n?m2(4?m)?n(4?m)?n22226?n?4?m?n?2?2n(4?m)?6??（4分）22?2n为偶数，4?m?N,?只可能是2n(4?m)?4.4??n?1,?n?2,即是?或?m?2;?m?3.?Sn?m1综上所述，存在正整数，m、n，使得?成立.Sn?1?m222.（成都二诊、理）解：
?x）（Ⅰ）?（fx）?x3?ax，?f（?3x2?a.?????????1分?（fx）在（?1，0）上是减函数，?3x2?a?0对?1?x?0恒成立，即a?3x2对?1?x?0恒成立.2而y?3x（?1?x?0）的值域为（0，3），?a?3.?????????3分1133（Ⅱ）?an?1??（fan），?an?1??（an?3an）.??2an?1?an?3an，223?2（an?an?1）?an?an?an（an?1）（an?1）?????????2分
n??2n?4,?2?2,??或???4?m?2;?4?m?1.??（2分）??（1分）又?1?a1?0，?a（（a1?1）?0，从而a1?a2?0，?a2?a1.1a1?1）????? ?3?2a2?a1?3a1，?1?a1?0，（fx）?x3?3x在（?1，0）上是减函数303?3?0??2a2?（?1）?3（?1）.??1?a2?0.又2（a2?a3）?a（（a2?1），2a2?1） 同样有a2?a3?0，从而a2?a3.猜想：an?1?an.?????????2分1?当n?1时，有?1?a1?0.2?假设当n?k时，?1?ak?0，3??2ak?1?ak?3ak?则??1?ak?0，?fx）?x3?3x在（?1，0）上是减函数?结合（3?03?3?0??2ak?1?（?1）?3（?1）.
??1?ak?1?0.即n?k?1时，?1?an?0也成立由1?、2?可知，?1?an?0（n?N*）.又2（an?an?1）?a（（an?1）， nan?1）?2（an?an?1）?0，an?1?an.?????????1分?????????5分