第1讲 导数的概念与导数的计算
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)
一、选择题
1.设曲线y＝e－ln(x＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，则a＝( ) A.0
axaxB.1
axC.2 D.3
解析 ∵y＝e－ln(x＋1)，∴y′＝ae－
1
，∴当x＝0时，y′＝a－1.∵曲线y＝eax－ln(xx＋1
＋1)在x＝0处的切线方程为2x－y＋1＝0，∴a－1＝2，即a＝3.故选D. 答案 D
2.若f(x)＝2xf′(1)＋x，则f′(0)等于( ) A.2
B.0
C.－2
D.－4
2
解析 ∵f′(x)＝2f′(1)＋2x，∴令x＝1，得f′(1)＝－2， ∴f′(0)＝2f′(1)＝－4. 答案 D
3.(2017·杭州质测)曲线f(x)＝x－x＋3在点P处的切线平行于直线y＝2x－1，则P点的坐标为( ) A.(1，3)
B.(－1，3)
3
C.(1，3)和(－1，3) D.(1，－3)
解析 f′(x)＝3x－1，令f′(x)＝2，则3x－1＝2，解得x＝1或x＝－1，∴P(1，3)或(－1，3)，经检验，点(1，3)，(－1，3)均不在直线y＝2x－1上，故选C. 答案 C
4.(2017·石家庄调研)已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A.e
B.－e
1
C. e
1 D.－
e
2
2
11
解析 y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，且y′＝，设切点为(x0，ln x0)，则y′|x＝x0＝，xx0
1
切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，因为切线过点(0，0)，所以－ln x0＝－1，解得x0＝e，故
x0
1
此切线的斜率为.
e答案 C
5.(2016·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝( )
- 1 -
A.－1
B.0
C.2
D.4
11
解析 由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－，∴f′(3)＝－，∵g(x)＝
33
xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，所
?1?以g′(3)＝1＋3×?－?＝0.
?3?
答案 B 二、填空题
6.(2015·天津卷改编)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数，若f′(1)＝3，则a的值为________；f(x)在x＝1处的切线方程为________. 1??解析 f′(x)＝a?ln x＋x·?＝a(1＋ln x)，由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3，
?x?
所以a＝3.f(x)＝3xln x，f(1)＝0，∴f(x)在x＝1处的切线方程为y＝3(x－1)，即为3x－y－3＝0.
答案 3 3x－y－3＝0
7.(2016·全国Ⅲ卷)已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)＝ln(－x)＋3x，则曲线y＝f(x)在点(1，－3)处的切线方程是________.
解析 设x＞0，则－x＜0，f(－x)＝ln x－3x，又f(x)为偶函数，f(x)＝ln x－3x，
f′(x)＝－3，f′(1)＝－2，切线方程为y＝－2x－1.
x答案 2x＋y＋1＝0
1x8.(2015·陕西卷)设曲线y＝e在点(0，1)处的切线与曲线y＝(x＞0)上点P处的切线垂直，
1
x则P的坐标为________.
1xx0
解析 y′＝e，曲线y＝e在点(0，1) 处的切线的斜率k1＝e＝1，设P(m，n)，y＝(x＞0)
x111
的导数为y′＝－2(x＞0)，曲线y＝(x＞0)在点P处的切线斜率k2＝－2(m＞0)，因为两切
xxm线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1，n＝1，则点P的坐标为(1，1). 答案 (1，1) 三、解答题
- 2 -
132
9.(2017·长沙调研)已知点M是曲线y＝x－2x＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，
3求：
(1)斜率最小的切线方程； (2)切线l的倾斜角α的取值范围. 解 (1)y′＝x－4x＋3＝(x－2)－1≥－1， 5
∴当x＝2时，y′＝－1，y＝，
3
2
2
?5?∴斜率最小的切线过点?2，?，斜率k＝－1， ?3?
∴切线方程为3x＋3y－11＝0. (2)由(1)得k≥－1，∴tan α≥－1，
?π??3π?又∵α∈[0，π)，∴α∈?0，?∪?，π?.
2??4??
π??3π??0，故α的取值范围为?∪?，π?. ?2??4??134
10.已知曲线y＝x＋.
33
(1)求曲线在点P(2，4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2，4)的切线方程.
1342
解 (1)∵P(2，4)在曲线y＝x＋上，且y′＝x，
33∴在点P(2，4)处的切线的斜率为y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2，4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0.
134?134?(2)设曲线y＝x＋与过点P(2，4)的切线相切于点A?x0，x0＋?，则切线的斜率为y′|x＝x0
33?33?＝x0.
234?134?222
∴切线方程为y－?x0＋?＝x0(x－x0)，即y＝x0·x－x0＋.∵点P(2，4)在切线上，∴4＝2x0
3?33?323432322
－x0＋，即x0－3x0＋4＝0，∴x0＋x0－4x0＋4＝0， 33
∴x0(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)＝0，解得x0＝－1或x0＝2，故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.
能力提升题组 (建议用时：25分钟)
11.已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，
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