三、确定常数?，使得在右半平面x?0上，
?2xy(x4?y2)?dx?x2(x4?y2)?dy
L与积分路径无关.
解：P(x,y)?2xy(x4?y2)?,Q(x,y)??x2(x4?y2)?……………………………..1/
?P?2x(x4?y2)??4xy2?(x4?y2)??1 ?y?Q??2x(x4?y2)??4x5?(x4?y2)??1 ………………………….…3/?X 因为
?L2xy(x4?y2)?dx?x2(x4?y2)?dy与积分路径无关,故
?P?y??Q?x ………………………….5/ 2x(x4?y2)??4xy2?(x4?y2)??1??2x(x4?y2)??4x5?(x4?y2)??14x(x4?y2)???x(x4?y2)??1(4y2??4x4?)
4(x4?y2)??(4y2??4x4?)故 ???1 …..……….……..8/
四, 求表面积为a2而体积最大的长方体的体积.
解： 设长方体的长,宽,高为x,y,z，则问题变为求函数V?xyz,在条件
?(x,y,z)?2xy?2yz?2xz?a2下的最大值. …………………….…..2/
设F(x,y,z)?xyz??(2xy?2yz?2xz-a2), ………….….4’
??Fx(x,y,z)?yz?2?(y?z)?0由??Fy(x,y,z)?xz?2?(x?z)?06F得x?y?z?a ……………..6/
?z(x,y,z)?xy?2?(y?x)?06???(x,y,z)?2xy?2yz?2xz?a2只有一个驻点，故当x?y?z?666a时，最大值V?xyz?a3…………8/ 36
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