2019届广州市高三年级调研测试 理科数学试题答案及评分参考
评分说明:
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．
一．选择题
题号 答案
二．填空题
13．10 14．4 15．4 16．11?
三、解答题
17．（1）解法1：由已知，得acosB?bcosA?2ccosA．
由正弦定理，得sinAcosB?sinBcosA?2sinCcosA，…………………………………………1分 即sin(A?B)?2sinCcosA．…………………………………………………………………………2分 因为sin(A?B)?sin(??C)?sinC，…………………………………………………………………3分 所以sinC?2sinCcosA．………………………………………………………………………………4分 因为sinC?0，所以cosA?因为0?A??，所以A?1 A 2 C 3 B 4 B 5 A 6 A 7 D 8 D 9 B 10 A 11 C 12 C 1．………………………………………………………………………5分 2?．…………………………………………………………………………6分 3a2?c2?b2b2?c2?a2解法2：由已知根据余弦定理，得a?．……………………1分 ??2c?b??2ac2bc222即b?c?a?bc．……………………………………………………………………………………3分
b2?c2?a21所以cosA??．…………………………………………………………………………5分
2bc2数学（理科）试题A 第 1 页 共 10 页
因为0?A??， 所以A?2?．…………………………………………………………………………6分 322（2）解法1：由余弦定理a?b?c?2bccosA，
得bc?4?b?c，………………………………………………………………………………………7分 即(b?c)2?3bc?4．……………………………………………………………………………………8分
22?b?c?因为bc???，………………………………………………………………………………………9分
?2?所以(b?c)2?23(b?c)2?4． 4即b?c?4（当且仅当b?c?2 时等号成立）．……………………………………………………11分 所以a?b?c?6．
故△ABC周长a?b?c的最大值为6．………………………………………………………………12分 解法2：因为
abc????2R，且a?2，A?， sinAsinBsinC3所以b?4343sinB，c?sinC．…………………………………………………………………8分 334343??2???sinB?sin?B?sinB?sinC??2????………………………9分 ?33??3??所以a?b?c?2?????2?4sin?B??．……………………………………………………………………10分
6??2??，所以当B?时，a?b?c取得最大值6． 33故△ABC周长a?b?c的最大值为6．………………………………………………………………12分
因为0?B?
18．（1）证明：连接BD ，交AC 于点O，设PC中点为F， 连接OF，EF．
因为O，F分别为AC，PC的中点， 所以OF因为DE所以OFFEPPA，且OF?1PA， 2AOBC1PA，且DE?PA，
2DDE，且OF?DE．………………………………………………………………………1分
所以四边形OFED为平行四边形，所以ODEF，即BDEF．………………………………2分
数学（理科）试题A 第 2 页 共 10 页
因为PA?平面ABCD，BD?平面ABCD，所以PA?BD． 因为ABCD是菱形，所以BD?AC． 因为PA因为BDAC?A，所以BD?平面PAC．…………………………………………………………4分
EF，所以EF?平面PAC．………………………………………………………………5分
因为FE?平面PCE，所以平面PAC?平面PCE． ………………………………………………6分 （2）解法1：因为直线PC 与平面ABCD所成角为45，
所以?PCA?45?，所以AC?PA?2．………………………………………………………………7分 所以AC?AB，故△ABC为等边三角形． 设BC的中点为M，连接AM，则AM?BC．
以A为原点，AM，AD，AP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A?xyz（如图）．
zPo2?，C则P?0,0，1?，D?0,2，0?， ?3,1，0?，E?0,2，PC??3,1，?2?，CE???3,1，1?，DE??0,0，1?．
…………………………9分
BEADCxyM设平面PCE的法向量为n=?x1,y1,z1?，
??nPC?0,??3x1?y1?2z1?0, 则?即???nCE?0,???3x1?y1?z1?0.??x?3,令y1?1,则?1所以n???z1?2.?3,1,2．……………………………………………………………10分
?设平面CDE的法向量为m??x2,y2,z2?，
???z2?0,?y2?3,?m?DE?0,?则?即?令x2?1,则?所以m?1,3,0．…………11分
???z2?0.??3x2?y2?z2?0.?m?CE?0,?设二面角P?CE?D的大小为?，由于?为钝角，
??所以cos???cosn,m??n?mn?m??236． ??422?2所以二面角P?CE?D的余弦值为?6．…………………………………………………………12分 4解法2：因为直线PC与平面ABCD所成角为45，且PA?平面ABCD，
所以?PCA?45，所以AC?PA?2．………………………………………………………………7分
数学（理科）试题A 第 3 页 共 10 页
因为AB?BC?2，所以?ABC为等边三角形． 因为PA?平面ABCD，由（1）知PA//OF， 所以OF?平面ABCD．
因为OB?平面ABCD，OC?平面ABCD，所以OF?OB且OF?OC． 在菱形ABCD中，OB?OC．
以点O为原点，OB，OC，OF分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O?xyz（如图）． 则O(0,0,0),P(0,?1,2),C(0,1,0),D(?3,0,0),E(?3,0,1)，
则CP?(0,?2,2),CE?(?3,?1,1),CD?(?3,?1,0)．……………………………………………9分 设平面PCE的法向量为n?(x1,y1,z1)，
???2y1?2z1?0,?n?CP?0,?则?即? ???3x1?y1?z1?0.?n?CE?0,??y1?1,令y1?1，则?，则法向量n??0,1,1?．……………10分
z?1.?1设平面CDE的法向量为m?(x2,y2,z2)，
zPEAODC??m?CE?0,???3x2?y2?z2?0,则?即? ??m?CD?0,???3x2?y2?0.令x2?1，则?xBy??y2??3,则法向量m?1,?3,0．………………………………………………11分
??z2?0.??设二面角P?CE?D的大小为?，由于?为钝角， 则cos???cosn,m??n?mn?m??36． ??42?2所以二面角P?CE?D的余弦值为?
19．解：（1）由已知数据可得x?56．…………………………………………………………12分 42?4?5?6?83?4?4?4?5?5,y??4．……………………1分
55因为
………………………………………2分 ?(x?x)(y?y)?(?3)?(?1)?0?0?0?3?1?6，iii?1222222………………………………………………3分 (x?x)?(?3)?(?1)?0?1?3?25，?ii?15数学（理科）试题A 第 4 页 共 10 页
?(y?y)ii?152?(?1)2?02?02?02?12?2．…………………………………………………4分
所以相关系数r??(xi?1ni?1ni?x)(yi?y)22(y?y)?ii?1n??(xi?x)69??0.95．………………5分
1025?2因为r?0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系． …………………………………………6分 （2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪．
①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元．………………………………………………………7分 ②安装2台光照控制仪的情形：
当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=3000-1000=2000元， 当30 Y P 2000 0．2 6000 0．8 所以EY?2000?0.2?6000?0.8?5200元． ………………………………………………………9分 ③安装3台光照控制仪的情形： 当X >70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y=1×3000-2×1000=1000元， 当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y=2×3000-1×1000=5000元， 当30 Y P 1000 0．2 5000 0．7 9000 0．1 所以EY?1000?0.2?5000?0.7?9000?0.1?4600元． ………………………………………11分 综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大应该安装2台光照控制仪．…………………………12分 20．解：（1）因为椭圆C的离心率为 c11，所以?，即a?2c．……………………………………1分 a22y2x232?1． 又a?b+c，得b=3c，即b?a，所以椭圆C的方程为2?34aa24222222数学（理科）试题A 第 5 页 共 10 页