?26?2把点?1,代人C中，解得a?4．………………………………………………………………2分 ??3???y2x2??1．……………………………………………………………………3分 所以椭圆C的方程为43（2）解法1：设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y?kx+2，
?y?kx?2,?22由?x2y2得?3k?4?x?12kx?0．…………………………………………………………4分
?1,??4?3设A?xA,yA?，B?xB,yB?，则有xA?0，xB?，…………………………………………5分
3k2?4?12k?6k2?8所以yB?． 23k?4??12k?6k2?8?,2所以B?2?……………………………………………………………………………6分
?3k?43k?4?因为MO?MA，所以M在线段OA的中垂线上， 所以yM?1，因为yM?kxM?2，所以xM??设H(xH,0)，又直线HM垂直l，所以kMH??1?1?，即M??,1?．………………………………7分 k?k?1，即k1??．…………………………8分
1k??xHk1所以xH?k?1?1?，即H?k?,0?．……………………………………………………………………9分
k?k???12k4?9k2?1??FB?,又F，所以，0,1FH?k?,?1?． ???2?111?2k???3k?43k?4??12k?1?4?9k2??k???2?0，………………………………………10分 因为F1B?F1H?0，所以
3k2?4?k?3k?42解得k?8．……………………………………………………………………………………………11分 3所以直线l的方程为y??
26x?2．………………………………………………………………12分 3数学（理科）试题A 第 6 页 共 10 页
解法2：设直线l的斜率为k，则直线l方程y?kx+2，
?y?kx?2,?22由?x2y2得?3k?4?x?12kx?0，…………………………………………………………4分
?1,??4?3设A?xA,yA?，B?xB,yB?，则有xA?0，xB??12k．…………………………………………5分
3k2?4?6k2?8所以yB?．
3k2?4??12k4?9k2?,2所以F1B??2??xH,?1?．…………………………………………………6分 ?，FH13k?43k?4??9k2?44?9k2?12k?xH?2?0，解得xH?因为F．………………………7分 1B?F1H?0，所以
3k2?412k3k?4222因为MO?MA，所以xM?yM?xM??yM?2?，解得yM?1．………………………………8分
21?9k2?4?所以直线MH的方程为y???x??．………………………………………………………9分
k?12k??y?kx?2,29k?20?2y?联立?解得．……………………………………………10分 1?9k?4?M212?1?k??y??k?x?12k?,?? ?89k2?202k??1由yM?，解得．………………………………………………………………11分 2312?1?k?所以直线l的方程为y??
21．解：（1）函数f?x?的定义域为?0,???．
26x?2．………………………………………………………………12分 3a2x2?a当b?2时，f?x??alnx?x，所以f??x???2x?．………………………………1分
xx2① 当a?0时，f??x??0，所以f?x?在?0,???上单调递增，…………………………………2分
11??a???a?取x0?e，则f?e???1??e??0，…………………………………………………………3分
?????1a2数学（理科）试题A 第 7 页 共 10 页
（或：因为0?x0?a且x0?112时，所以f?x0??alnx0?x0?alnx0?a?aln?a?0．）
ee因为f?1??1，所以f?x0?f?1??0，此时函数f?x?有一个零点．………………………………4分 ②当a?0时，令f??x??0，解得x?a?． 2当0?x???aa?时，f??x??0，所以f?x?在?0,??上单调递减；
?2?2????aa当x??时，f??x??0，所以f?x?在??,???上单调递增．
??22??要使函数f?x?有一个零点，则f?????a?aa?aln???0即a??2e．………………………5分 ??2?22综上所述，若函数f?x?恰有一个零点，则a??2e或a?0．………………………………………6分 （2）因为对任意x1,x2??,e?，有f?x1??f?x2??e?2成立，
e因为f?x1??f?x2????f?x???max???f?x???min，
所以??f?x???max???f?x???min?e?2．…………………………………………………………………7分 因为a?b?0，则a??b．
?1???b?x?1??bbb?1所以f?x???blnx?x，所以f??x??． ?bx?xxb当0?x?1时，f??x??0，当x?1时，f??x??0，
所以函数f?x?在?,1?上单调递减，在?1,e?上单调递增，??f?x???min?f?1??1，………………8分 因为f???b?e?b与f?e???b?e，所以?f?x???max?f??,f?e??．……………9分 ??maxeb?1??e??1?????1???e???设g?b??f?e??f???eb?e?b?2b?b?0?， 则g??b??e?eb?b?1??e??2?2eb?e?b?2?0．
所以g?b?在?0,???上单调递增，故g?b??g?0??0，所以f?e??f??．
b从而??f?x???max?f?e???b?e．………………………………………………………………………10分
?1??e?数学（理科）试题A 第 8 页 共 10 页
所以?b?eb?1?e?2即eb?b?e?1?0， 设??b?=e?b?e?1?b?0?，则???b?=e?1．
bb当b?0时，???b??0，所以??b?在?0,???上单调递增．
又??1??0，所以eb?b?e?1?0，即为??b????1?，解得b?1．……………………………11分 因为b?0，所以b的取值范围为?0,1?．………………………………………………………………12分
?x?cos?22．解：（1）因为曲线C1的参数方程为?（?为参数），
y?2sin??因为??x??2cos?，?x??2x，，则曲线C2的参数方程?．………………………………………………2分
???y?2sin?.?y?y.所以C2的普通方程为x?2?y?2?4．……………………………………………………………………3分 所以C2为圆心在原点，半径为2的圆．…………………………………………………………………4分 所以C2的极坐标方程为?2?4，即??2．…………………………………………………………5分 （2）解法1：直线l的普通方程为x?y?10?0．…………………………………………………………6分
?|22cos(?+)?10||2cos??2sin??10|4曲线C2上的点M到直线l的距离d?．…………8分 ?22当cos??+???|22?10|??d?=2k??k?Z即时，取到最小值为=52?2．……………9分 =1???44?23?|22+10|??d?=?2k?k?Z即时，取到最大值为=2?52．………10分 =?1???44?2当cos??+??解法2：直线l的普通方程为x?y?10?0．…………………………………………………………6分 因为圆C2的半径为2，且圆心到直线l的距离d?|0?0?10|2?52，…………………………7分
因为52?2，所以圆C2与直线l相离．………………………………………………………………8分 所以圆C2上的点M到直线l的距离最大值为d?r?52?2，最小值为d?r?52?2．…10分
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23．解：（1）当a?1时，f(x)?|x?1|．…………………………………………………………………1分
①当x??1时，原不等式可化为?x?1??2x?2，解得x??1．…………………………………2分 ②当?1?x??③当x??1时，原不等式可化为x?1??2x?2，解得x??1，此时原不等式无解．……3分 21时，原不等式可化为x?1?2x，解得x?1．…………………………………………4分 2综上可知，原不等式的解集为xx??1或x?1?．…………………………………………………5分
?x??3,?3?a,?（2）解法1：①当a?3时，g?x????2x?a?3,?3?x??a, ……………………………………6分
?a?3,x??a.?所以函数g?x?的值域A??a?3,3?a?， 因为[?2,1]?A，所以??a?3??2，解得a?1．………………………………………………………7分
?3?a?1，x??a,?3?a,?②当a?3时，g?x???2x?a?3,?a?x??3, …………………………………………………8分
?a?3,x??3.?所以函数g?x?的值域A??3?a,a?3?， 因为[?2,1]?A，所以??3?a??2，解得a?5．………………………………………………………9分
?a?3?1，综上可知，a的取值范围是???,1?解法2：因为|x+a|?|x+3|??5,???．………………………………………………………10分
?a?3，……………………………………………7分
?x+a??(x+3)所以g?x??f(x)?|x+3|?|x+a|?|x+3|?[?|a?3|,|a?3|]．
所以函数g(x)的值域A?[?|a?3|,|a?3|]．…………………………………………………………8分
因为[?2,1]?A，所以???|a?3|??2，解得a?1或a?5．
?|a?3|?1，所以a的取值范围是???,1??5,???．………………………………………………………………10分
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