2005年天津市大学数学竞赛试题
（理工类）
一、填空：（本题15分，每空3分。请将最终结果填在相应的横线上面。） 1．lim4x?x?1?x?1x?sinx22x???? 1 。
t??x?esin2t2．曲线?，在点(0,1)处的法线方程为 2x＋y－1=0 。
t??y?ecost3．设f(x)为连续函数，且?x?130f(t)dt?x，则f(7)?
112 。
4．函数u?lnx??y?z22 。 ?在点A(1,0,1)处，沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为 125．设(a×b)·c = 2，则[(a+b)×(b+c)]·(c+a)= 4 。
二、选择题：（本题15分，每小题3分。每个小题的四个选项中仅有一个是正确的，把你认为“正确选项”前的字母填在括号内。选对得分；选错、不选或选出的答案多于一个，不得分。）
1． 设函数f(x)与g(x)在开区间(a,b)内可导，考虑如下的两个命题， ⑴ 若f(x)?g(x)，则f?(x)?g?(x)； ⑵ 若f?(x)?g?(x)，则f(x)?g(x)。
则（ B ）
（A）两个命题均正确； （B）两个命题均不正确；
（C）命题⑴正确，命题⑵不正确； （D）命题⑴不正确，命题⑵正确。 2． 设函数f(x)连续，F(x)是f(x)的原函数，则（ A ） (A) 当f(x)为奇函数时，F(x)必为偶函数； (B) 当f(x)为偶函数时，F(x)必为奇函数； (C) 当f(x)为周期函数时，F(x)必为周期函数；
(D) 当f(x)为单调递增函数时，F(x)必为单调递增函数。
3． 设平面?位于平面?1：x?2y?z?2?0与平面?2：x?2y?z?6?0之间，且将此两平面的距离分为1:3，则平面?的一个方程为（ D ）
（A）x?2y?z?0； （B）x?2y?z?8?0；
１
（C）x?2y?z?8?0； （D）x?2y?z?3?0。 4． 设f(x,y,z)为非零的连续函数，F(t)?2???2f(x,y,z)dxdydz，则当t→0时（ C ）
22x?y?z?t（A）F(t)与t为同阶无穷小； （B）F(t)与t为同阶无穷小； （C）F(t)与t为同阶无穷小； （D）F(t)是比t高阶的无穷小。
5． 设函数y?y(x)满足等式y???2y??4y?0，且y(x0)?0,y?(x0)?0，则y(x)在点x0处（ A ）。
（A）取得极小值； （B）取得极大值；
（C）在点x0的一个邻域内单调增加； （D）在点x0的一个邻域内单调减少。 三、求函数f(x)?e?xsinx2的值域。（本题6分）
解：要求f(x)?e?xsinx2的值域，只需求出函数的最大值与最小值即可。注意到：函数f(x)?e?x2222
33
2sinx为偶函数，故只需考虑x≥0的情况。为计算方便，命t=x，得到
2
g(t)?esint,t?0，
?t显然，g(t)与f(x)有相同的值域。求g(t)的驻点：
g?(t)??e?tsint?e?tcost?e(cost?sint)。
?t命g?(t)?0，得到驻点tk??4?k?(k?0,1,2,?)，其对应的函数值为
??????k???4?g(tk)?e?ksin??k?????1?e2?4???2??????k???4?，
?4显然，当k=2m(m=0,1,2,?)时，g(t2m)?0，其中最大值为g(t0)?225?422e?；当k=2m+1 (m=0,1,2,?)
时，g(t2m)?0，其中最小值为g(t1)??5???2?42?4??e,e?22?e?。于是得到函数g(t)的值域，亦即函数f(x)的值域为：
??。 ??
?x??y?xy,?g四、设z?f????y?x???z?z?。?，其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数。求2,?x?x?y?22 ２
（本题6分）
解：
2y?1??yf1?f2?2g?， ?xyx2?y?1??1??1??2y????y??yf11?yf12???y??yf21?yf22???3g?4gx????x2?z?z?x2
1y???2y2?yf11?2f12?2f22?3g??4g??yxx?x1x1y?????1?????????f1?y?xf?f?f?xf?f?g?g??11122212222223?????x?yy?yyx??y?x
1x1y?????f1?2f2?xyf11?3f22?2g??3g??yyxx?z2五、设二元函数u(x,y)在有界闭区域D上可微，在D的边界曲线上u(x,y)?0，并满足?u?x?u?y?（本题6分） ?u(x,y)，求u(x,y)的表达式。
解：显然u(x,y)?0满足题目条件。下面证明只有u(x,y)?0满足题目条件。
事实上，若u(x,y)不恒等于0，则至少存在一点(x1,y1)?D，使得u(x1,y1)?0，不妨假设u(x1,y1)?0，同时，也必在D内至少存在一点(x0,y0)，使u(x0,y0)?M?0为u(x,y)在D上的最大
值。因为u(x,y)在D上可微，所以必有
?u?x(x0,y0)?0??u?y(x0,y0)，于是得到
?u?x?u?x?u?y(x0,y0)??u?y(x0,y0)?0。
然而，由题设知??u(x,y)，因此应有u(x0,y0)?0，这与u(x0,y0)?M?0的假设矛盾；
同理可证：u(x1,y1)?0的情况。
因此可知在D上u(x,y)?0。
六、设二元函数f(x,y)具有一阶连续偏导数，且?题7分）
解：注意到：被积函数P(x,y)?f(x,y),Q(x,y)?xcosy，由于此积分与路径无关，所以必有
(t,t)2(0,0)f(x,y)dx?xcosydy?t，求f(x,y)。（本
2 ３
?P?y??Q?x?cosy，即有
?f?y?cosy，
从而有f(x,y)?siny?C(x)，代入原积分式，得到
?(0,0)?sin即
(t,t)2y?C(x)?dx?xcosydy?t，
2?t0C(x)dx??t20tcosydy?t，
22?t0C(x)dx?tsint?t。
2将上式两端对t求导，得到： C(t)?sint2?2t2cost2?2t， 即 C(x)?2x?sinx2?2x2cosx2，
从而得到 f(x,y)?siny?2x?sinx2?2x2cosx2。
七、设曲线y?ax2(a?0,x?0)与y?1?x2交于点A，过坐标原点O和点A的直线与曲
线y?ax2围成一平面图形，试问：
⑴ 当a为何值时，该图形绕x轴一周所得的旋转体体积最大？ ⑵ 最大体积为多少？（本题7分）
1?x?2????y?ax1?a解：当x≥0时，由?，解得A点的坐标为?，故直线OA的方程为y?2??y?a?y?1?x?1?a?ax1?a。
于是，平面图形绕x轴一周所得的旋转体体积为：
1V(a)???1?a0??ax??????1?a2?1522??a2x3?a245?????axdx???x???3?1?a??5?????511?a0?2?a25。
15?1?a?2上式两边对a求导：
dV(a)dadV(a)da2a?1?a??a?2252?1?a?2?3???(4a?a)15?1?a?272?1?a?5(a?0)。
命?0，得到a=4。由于a=4是当a?0时V(a)的唯一驻点，且由问题的实际意义可知存在最
大体积，故V(a)在a=4时取最大值。其最大体积为：
2?425V(4)???325?15?1?4?21875。
４
八、设S为椭球面
x22?y22?z2?1的上半部分，点P(x,y,z)?S，?为S在点P处的切平面，
?(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面?的距离，求??Sz?(x,y,z)dS。（本题7分）
解：设(X,Y,Z)为?上任意一点，则?的方程为
xX2?yY2?zZ?1，
从而知
?xy2???(x,y,z)????z?4?4??22?12。
由z?2?x2y??1???2?2?，有
???z?x??x22?xy??y?21???2?2???22,?z??y?xy??21????22???4?x?y222，
22于是 dS???z???z??1???????d????x???y?d?。
2?xy??21????2?2??所以
??Sz?(x,y,z)?dS?14???4?xD2?y2?d??1?42?0d??20?4?r?rdr?3?22。
?九、证明?2sinx1?x20dx??2cosx1?x20dx。（本题8分）
证明：方法一（利用积分估值定理）
?命I??2sinx?cosx1?x2?0dx??4sinx?cosx1?x2?0dx???2sinx?cosx1?x2dx，
4对上式右端的第二个积分，取变换t??2?x，则dx??dt，于是
５