?I??4sinx?cosx1?x2?0dx???sinx?cosx21?x2?dx??4sinx?cosx1?x2?0dx??4cost?sint04???1??t??2???22dt???40??1?sinx?cosx????1?x21??????1?dx?2?????x???2????
??x2???sin40x?cosx??24?1?x??????1???x????2?????dx????注意到：被积函数的两个因子在区间0,上异号（sinx?cosx?0，?4???242??x2?1?x??????1???x????2?????，?0）
由积分估值定理得知必有I≤0，即知原不等式成立。
方法二（利用积分中值定理）
?命I??2sinx?cosx1?x2?0dx??4sinx?cosx1?x2?0dx???2sinx?cosx1?x2dx，
4由积分中值定理，并在区间??2??????x，同时注意到：?1??2，得,?上取变换t?242???I?11??112??sin40x?cosx?dx?11??2122???sin24x?cosx?dx?11?4?cosx?sinx?dx?0???22??01??1??1??2???
?1??1?0?sin4x?cosx?dx?1??2?0?cost?sint?dt4十、设正值函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，?f(x)dx?A，证明：
ab?（本题8分）
baf(x)ef(x)dx?b1f(x)adx?(b?a)(b?a?A)。
证明：化为二重积分证明。记D??(x,y)a?x?b,a?y?b?，则原式 左边?12?baf(x)ef(x)dx?b1f(y)ady???Df(x)f(y)ef(x)dxdy???Df(y)f(x)ef(y)dxdy???D?f(y)e?f(x)?2f(y)f(x)??e?dxdy?f(y)?f(x)f(x)?f(y)??De2dxdy???Df(x)f(y)??1????dxdy 22???(b?a)??bady?f(x)dx?(b?a)(b?a?A)ab十一、设函数f(x)在闭区间[a,b]上具有连续的二阶导数，证明：存在ξ∈(a,b)，使得
６
???a?b?f(a)?2f?f(b)????f??(?)。 2?(b?a)??2??4（本题7分）
证明：将函数f(x)在点x0?a?b2处作泰勒展开，并分别取x=a和b，得到
2a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b?f(a)?f?f??(?1)?a???f????a????,其中?1??a，?；
2?2!2?2??2??2????a?b?1a?b??a?b??a?b????a?b?f(b)?f?f??(?2)?b?,b?。 ??f????b????,其中?2??2222!22??????????2两式相加得到
1?a?b??b?a???????f(a)?2f??f(b)?f(?)?f(?)???。 122!?2??2?2由于f??(x)连续，由介值定理知，存在????1,?2?使得f??(?)?f??(?1)?f??(?2)2，从而得
1?a?b?2f(a)?2f???f(b)??b?a?f??(?)，
4?2?即 f??(?)?4?b?a?2???a?b?f(a)?2f?f(b)????。
?2???22十二、设函数f(x)在闭区间[-2,2]上具有二阶导数，f(x)?1，且?f(0)???f?(0)??4，证明：存在一点ξ∈(-2,2)，使得f(?)?f??(?)?0。（本题8分）
证明：在区间[-2,0]和[0,2]上分别对函数f(x)应用拉格朗日中值定理
??1?(?2,0)使f?(?1)???2?(0,2)使f?(?2)?f(0)?f(?2)2f(2)?f(0)2；
。
注意到：f(x)?1，因此f?(?1)?22f(0)?f(?2)2?1，f?(?2)?1。
命：F(x)??f(x)???f?(x)?，则F(x)在区间[-2,2]上可导，且
F(?1)??f(?1)???f?(?1)??2；
22F(?2)??f(?2)???f?(?2)??2；
22 ７
F(0)?4。
故F(x)在闭区间??1,?2?上的最大值F(?)?Maxx???1,?2??f(x)??4，且??(?1,?2)。由弗马定理知
F?(?)?0。而 F?(x)?2f(x)f?(x)?2f?(x)f??(x)，
故 F?(?)?2f?(?)?f(?)?f??(?)??0。
由于F(?)??f(?)???f?(?)??4，所以f?(?)?0，从而f(?)?f??(?)?0。
22 ８