高中冲刺补习 闸北新王牌
第3讲 平面向量的数量积
一、知识点讲解：：
1．两个非零向量夹角的概念
??????????已知非零向量a与b，作OA＝a，OB＝b，则∠AＯB＝θ（０≤θ≤π）叫a与b的夹角.
??注：向量a与向量b都是非零向量且要同起点。
??2．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角是θ，则
????????????叫与的数量积，记作?，即有ab|a||b|cos?aba?b?|a||b|cos?
注：
?（1） （０≤θ≤π）.并规定0与任何向量的数量积为0 （2） 两个向量的数量积的性质：
????e设a、b为两个非零向量，是与b同向的单位向量 ?????1) e?a = a?e =|a|cos?；
????2) a?b ? a?b = 0
????????????3) 当a与b同向时，a?b = |a||b|；当a与b反向时，a?b = ?|a||b| 特别的a?a = |a|或|a|?2
??????a?a
??a?b4) cos? =?? ；
|a||b|????5) |a?b| ≤ |a||b|
3．“投影”的概念：如图
???定义：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影 注：
投影也是一个数量，不是向量；当?为锐角时投影为正值；当?为钝角时投影为负值；当
???为直角时投影为0；当? = 0?时投影为 |b|；当? = 180?时投影为 ?|b|
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4． 平面向量数量积的运算律
????交换律：a?b?b?a
??????数乘结合律：(?a)?b??(a?b)?a?(?b)
???????分配律：(a?b)?c?a?c?b?c
注：向量的数量积是不满足结合律的 5．平面两向量数量积的坐标表示
????已知两个非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，设i是x轴上的单位向量，j是y轴上
????????的单位向量，那么a?x1i?y1j， b?x2i?y2j，所以a?b?x1x2?y1y2
6.平面内两点间的距离公式
如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2)， 那么|a|???(x1?x2)2?(y1?y2)2
????7.向量垂直的判定：设a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，则a?b ?x1x2?y1y2?0
??a?b??8.两向量夹角的余弦（0????）cos???|a|?|b|二、典例剖析：
题型1.求数量积、求模、求夹角 例1、已知
x1x2?y1y2x?x2212y?y2212 ????a?2，b?3， a与b的夹角为120?，求：
?????2?2????(1)、a?b；(2)、a?b；(3)、(2a?b)(a?3b)；(4)、a?b
例2、已知
???????a?1，b?2，且a?b与a垂直，求a与b的夹角.
2
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【练习】
?????1、已知向量a?(2cos?,2sin?)，??(,?),b?(0,?1)，则向量a与b的夹角为（ ）
23????? B．?? C．?? D．? A．222??2、在?ABC中，a，b,c分别为三个内角A，B，C所对的边，若向量m?(2,0) 与
??n?(sinB,1?cosB)的夹角为，求角B的大小；
3
题型2.利用数量积解决垂直问题
????????????????例3、若非零向量?、?满足???????，证明:???
????????例4、在?ABC中，AB?(2,3)，AC?(1,k)，且?ABC的一个内角为直角，求k值
【练习】
1、已知向量a?(1 , 1)，b?(2 , n)，若|a?b|?a?b，则n?（ ）
A．?3 B．?1 C．1 D．3
??2、已知a，b，c为?ABC的三个内角A，B，C的对边，向量m?(3，?1)，????n?(cosA，sinA)．若m?n，且acosB?bcosA?csinC，则角A，B的大小分别为
（ ）
π A．π，63π C．ππ D．ππ B．2π，，，363633
3
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题型3.求夹角范围（利用数量积处理夹角的范围）
???????2例5、已知|a|?2|b|?0,且关于x的方程x?|a|x?a?b?0有实根,则a与b的夹角的取
值范围是 ( )
A.[0,
???2??] D.[,?] ] B.[,?] C.[,33366【练习】
????1．设非零向量a=?x,2x?，b=??3x,2?，且a，b的夹角为钝角，求x的取值范围.
2．已知a?(?,2?)，b?(3?,2),如果a与b的夹角为锐角,则?的取值范围是
三、巩固训练
?????????????????????????????????1、已知?ABC内有一点O，满足OA?OB?OC?0，且OA?OB?OB?OC.则?ABC一
定是 （ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰三角形
????????????????????????????ABACABAC1??????)?BC?0且??????????，则2、在?ABC中，已知向量AB与AC满足(???|AB||AC||AB||AC|2?ABC为 （ ）
A．三边均不相等的三角形 C．等腰非等边三角形
B．直角三角形 D．等边三角形
??23、已知向量a?(m,n)，b?(cos?,sin?)，其中m,n,??R.若|a|?4|b|，则当a?b??
恒成立时实数?的取值范围是 A．??2或???2
4
（ ）
B．??2或???2 D．?2???2
C．?2???2
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??C所对的边，b,c分别为三个内角A，B，4、在?ABC中，设向量m?(b?c,c?a)，a，???? n?(b,c?a).若m?n,则角A的大小为 （ ）
???2? B. C. D.
3632?????a?a????????5、若向量a与b不共线，a?b?0，且c=a?????b，则向量a与c的夹角
A.
?a?b?为 ;
????6、设0???2?，已知两个向量OP1??cos?,sin??，OP2??2?sin?,2?cos??，则?????7、设向量a与b的夹角为?，a?(3,3)，2b?a?(?1,1)，则cos?? ．
????????????????????????8、P是?ABC所在平面上一点，若PA?PB?PB?PC?PC?PA，则P是?ABC的 ．
????????????9、在?ABC中，O为中线AM上的一个动点，若AM?2，则OA?(OB?OC)的最小值为
向量P1P2长度的最大值是 ;
.
????1310、设平面上向量a?(cos?,sin?)(0???2?),b?(?,)，a与b不共线，
22????(1)、证明向量a?b与a?b垂直.
????(2)、当两个向量3a?b与a?3b的模相等，求角?．
????????????????11、在?ABC中，已知AB?AC?1, AB?BC??2．
(1) 求AB边的长度； (2)证明：tanA?2tanB；
????????（3）若|AC|?2,求|BC|．
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