高中冲刺补习 闸北新王牌
四、平面向量与三角函数、函数、不等式等知识的综合应用
??C例1、已知a,b,c为?ABC的内角A、B、C的对边，m?(cos2????CC?n?(cos,?sin)，且m与n的夹角为，求C；
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C,sin，)2例2、已知A、B、C是直线l上的不同的三点，O是外一点，向量OA,OB,OC满足
????????????????32?????????OA?(x?1)?OB?[ln(2?3x)?y]?OC?0,记y?f(x).求函数y?f(x)的解析式；
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例3、已知开口向上的二次函数f(x)，对任意x?R，恒有f(2?x)?f(2?x)成立，
????设向量a?(x?2?2x?1,1)，b?(1,2)，求不等式f(a?b)?f(5)的解集.
五、综合拔高训练
1、已知a,b,c为?ABC的内角A、B、C的对边，向量m??3,cos???A??1?，
?????????n??cos??A?,1?，m?n.求角A的大小；
?2???
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2、已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cos?,sin?),??(?3?2,2).
（1）若|AC|?|BC|,求角?的值； （2）若AC?BC??1,求
2sin??sin2?的值.
1?tan?23、已知点A(2,0)、B(0,2)、C(cos?,sin?),O为坐标原点，且0????.
???????????????? （1）若|OA?OC|?7，求OB与OC的夹角； ???????? （2）若AC?BC，求tan?的值.
???2???24、已知a?(1,x),b?(x?x,?x)，m为实数，求使m(a?b)?(m?1)a?b?1?0成立的x的范围.
?5、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知向量a?(?1,2)，又点A(8,0)，B(n,t)，
C(ksin?,t)，(0????2).
?????????????????(1).若AB?a且|AB|?5|OA|，求向量OB；
?????????????(2).若向量AC与向量a共线，当k?4时，且tsin?取最大值为4时，求OA?OC.
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6、已知向量?a?(cosx,sinx)，b??(?cosx,cosx)，c??(?1,0).
（1）若x????6，求向量a与c的夹角；
（2）当x?[?,9?28]时，求函数f(x)?2a??b??1的最大值.
【基础练习】
1、 写出与下列向量垂直的一个向量。
（1）????(2,0)； （2）????(0,?2)；
（3）???(2,3)； （4）?a?(u,v)。
2、（1）求向量?a?(3,?4)的同向单位向量??a?0；
（2）已知向量?a?(?2,1)，则与?a垂直的单位向量坐标为 。
3、已知?a?(2,?1),?b?(?1,0)，且(?a??b)?(?a?kb?)，则实数k? 。 4、已知|?a|?3,|?b|?1，?a与b?的夹角为2?3，
（1）求?a??b；?32
（2）若?m??3?a?b?,?n?2?a?2b?，则?m???n? 。
5、已知?ABC是边长为2的正三角形，则???AB?????BC?????BC????CA?????CA??????AB?? 。
6、若(?a?b?)?(2?a??b)?1,|?a|?|?b|?2，则?a与b?的夹角为 。
7、?a,b?是两个非零向量，若f(x)?(xa??b?)?(?a?xb?)的图像是一条直线，则必有（ A.?a??b B.?a/?/b C.|?a?|?|b | D.|?a|?|b?|
。8
）
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8、填空
????（1）单位向量a与b的夹角为60°，则a在b方向上投影=________
????????（2）a、b是非零向量，若|a?b|?|a?b|，则 a与b的夹角=______
（3）非零向量??(2a?1,a?b)与??(?2,0)平行，则实数a,b满足的条件是______
??????（4）若| a|=|b|=2，a?b??1,则| a?3b|=______
9、判断下列命题的真假
????（1）若a·b= a· c，则 b= c
??（2）若a·b= 0，则 a?0或b?0
????（3）若|a|=|b|,则 a=±b
（4）已知e1,e2是平面上两个非零向量，a是平面上任一向量，则存在唯一实数对?1、?2使得 a??1e1+?2e2成立
????????（5）若a//b，则a?b?|a||b|
10、已知点O在直线l外，若不重合的三点A、B、C都在l上，且OA?1OC?x?OB，
3????????????则x=_____
11、已知OA,OB,OC三个向量中，任何两个向量的夹角是120?，且|OA|?|OB|?|OC|，
????????????则OA?OB?OC?_________
?????12、设f(x)?a?b,a?(m,cos2x),b?(1?sin2x,1),x?R，且f(x)的图像过点(,2)，
4 （1）求实数m的值；
（2）求f(x)的最小值及此时x的值的集合。
????13、已知a?(t,3),b?(1,?2)，若a与b的夹角为钝角，则实数t的取值范围是 。
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????????14、（1）已知|a|?3,|b|?4,(a?b)?(a?3b)?81，则a与b的夹角为 ；
?????????（2）|a|?1,|b|?2，且(?a?b)?(2a??b)，a与b的夹角为60，则?? ；
????????????215、已知AB?BC?AB?0，则?ABC的形状一定是 。
??????2?16、已知e为单位向量，|a|?4，a与e的夹角为，则a在e方向上的投影为 。
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