线性代数（A卷）参考解答
一．填充题（每小题3分，共15分）
1207xxx231．多项式f(x)??13中x2的系数为 ?1.
2．设A为3阶方阵，且|A|?2, 则|2A?1|? 4.
3．当a? 5 时, 下列齐次方程组有非零解. ?x1?3x2?2x3?0? ?x1?2x2?3x3?0
?2x?x?ax?023?1?1?4．矩阵0????12423??2的秩为 2. ??1??11?30???3 ??1??
?2?T2225．二次型xAx?2x1?x2?x3?2x1x2?6x2x3中对称阵A? 1???0
二．选择题（每小题3分，共15分）
1. 设n阶方阵A,B满足关系式AB?O, 则必有( C ).
(A) A?O或B?O; (B) A?B?O; (C) |A|?0或|B|?0; (D) |A|?|B|?0.
2. 设三阶方阵A?[?,?1,?2], B?[?,?1,?2],其中?,?1,?2,?为3维列向量, 且|A|?1, |B|?2, 则|A?B|?( D ). (A) 3; (B) 6; (C) 9; (D) 12.
3. 设A是3阶矩阵, 则必有( C ). (A) (2A)*?2A*; (B) (2A)*?A*; 2 (C) (2A)*?4A*; (D) (2A)*?8A*.
1
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4. 设向量组A:?1,?2,?,?r可由向量组B:?1,?2,?,?s线性表示, 则( B ). (A) 当r?s时, 向量组A必线性相关; (B) 当r?s时, 向量组A必线性相关;
(C) 当r?s时, 向量组B必线性相关; (D) 当r?s时, 向量组B必线性相关.
5. 设A是m?n矩阵, 则线性方程组Ax?0( B ).
(A) 当n?m时仅有零解; (B) 当n?m时必有非零解; (C) 当n?m时仅有零解; (D) 当n?m时必有非零解.
三．解答下列各题(每小题7分，共21分) 1．设A???1?32??1B?, ??4??53?2003. ?, C?2A?B, 求C9??1[解] C???11?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分 ?。?1?0?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 ?。2? C C2?2???02002?210010??? 100?12?0? C
2003?2100121001???1001。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分 100?1?2?2?1213?41?1?151?1?20?244?2?24818??36。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分 1?1131000?240221001?1?25?248?22．计算行列式D?02?2.
121?102100[解] D?0001000 ?。。。。。。。。。。。。。4分
?
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3．讨论向量组?1?(1,1,1),?2?(1,2,3),?3?(a,1,2)的线性相关性. [解] A???1T?2T?3T??1??1???1123a??1??1?0???2???0110a??1?a。。。。。。。。。。。3分
?a??当a?0时，R(?1,?2,?3)?2，?1,?2,?3线性相关；。。。。。。。。。。。。。。。5分 当a?0时，R(?1,?2,?3)?3，?1,?2,?3线性无关。。。。。。。。。。。。。。。。7分
四．（12分）求下列方程组的通解
?x1?2x2?3x3?3x4?7?x1?x2?x3?x4?1? ?
3x?2x?x?x??31234??5x1?4x2?3x3?3x4??1?[解] 化增广矩阵为行最简形： ?1?1 ??3??52124311331137??1??10? ???0?3????1??00100?1200?1200?5??6?。。。。。。。。。。。。。。。6分 ?0?0??x1?x3?x4??5同解方程组为 ?。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分
x?2x?2x?634?2令x3?k1，x4?k2，得通解为
?x1??1??1???5?????????x2?2?26??k?????，其中k,k为任意实数。 ???k1?。。。。。。。。12分 212?x3??1??0??0?????????x010???????4?
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?1?五．（12分）已知矩阵A?2???13124??2,?3???2?B??1???21???2, ?1??1）求矩阵A的逆阵;
2）解矩阵方程AX=B.
2???1?1?? [解] 1） A*??4?16。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。2分
???1?5??3? |A|?1?(?1)?3?(?4)?4?3??1。。。。。。。。。。。。。。。。。4分 A?1?11??A*?4?|A|???311?1?2???6?5??11?1?2???6。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 ?5??1???2 ?1?? 2） X?A?1B 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。8分 ?1? ?4????3?2??1???2??3? ??5???5?3???4。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分 ?4??
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?1?六．（12分）求方阵A??2???21???24???4?24?422???4的特征值和特征向量. ?4???4??(9??)
2[解] |A??E|??224??。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 A的特征值为?1??2?0，?3?9。
?2???2?????当?1??2?0时，解 Ax?0，得基础解系p1?1，p2?0，
???????1???0??对应于特征值?1??2?0的全部特征向量为
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分 k1p1?k2p2（k1,k2不同时为0）
?1???当?3?9时，解 (A?9E)x?0，得基础解系p3??2，
????2??对应于特征值?3?9的全部特征向量为k3p3（k3?0）。。。。。。。。。。。。。。。。。。12分
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T七．（7分）设A为n阶正定矩阵，?1,?,?r是n维非零列向量, 且?iA?(i?j,i,j?1,2,?,r), 证明: ?1,?,?r线性无关.
j?0
[证明] 设存在数组k1,?,kr，使
k1?1???kr?r?0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分 上式两边同时左乘?iTA，注意 ?iA?Tj?0 (i?j,i,j?1,2,?,r)，得
ki?iTA?i?0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 因A为n阶正定矩阵，所以 ?iTA?i?0，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 于是ki?0 (i?1,2,?,r), 因此?1,?,?r线性无关。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
八. (6分) 设方阵A满足A2?3A?2E?O, 证明A的特征值只能取值1或2. [证明] 设?为A的特征值，p为对应的特征向量，则有Ap??p，。。。。。2分 于是 A2p??2p，(A2?3A?2E)p?(?2?3??2)p，。。。。。。。。。。。。。。。4分 由题设，得 (?2?3??2)p?0，
因 p?0，得 ?2?3??2?0， 于是 ??1或??2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
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