T七．（7分）设A为n阶正定矩阵，?1,?,?r是n维非零列向量, 且?iA?(i?j,i,j?1,2,?,r), 证明: ?1,?,?r线性无关.
j?0
[证明] 设存在数组k1,?,kr，使
k1?1???kr?r?0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。1分 上式两边同时左乘?iTA，注意 ?iA?Tj?0 (i?j,i,j?1,2,?,r)，得
ki?iTA?i?0。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。3分 因A为n阶正定矩阵，所以 ?iTA?i?0，。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5分 于是ki?0 (i?1,2,?,r), 因此?1,?,?r线性无关。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
八. (6分) 设方阵A满足A2?3A?2E?O, 证明A的特征值只能取值1或2. [证明] 设?为A的特征值，p为对应的特征向量，则有Ap??p，。。。。。2分 于是 A2p??2p，(A2?3A?2E)p?(?2?3??2)p，。。。。。。。。。。。。。。。4分 由题设，得 (?2?3??2)p?0，
因 p?0，得 ?2?3??2?0， 于是 ??1或??2。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分
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