2016-2017学年湖南省长沙市高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1．在复平面内，复数A．第一象限
对应的点在（ ）
C．第三象限
D．第四象限
B．第二象限
2．2，3}，B={x|x2﹣3x+a=0，a∈A}，已知集合A={1，若A∩B≠?，则a的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．1或2 ）的图象向左平移
个单位，所得函数的解析式为（ ）
3．将函数y=sin（2x+A．
B．y=﹣cos2x C．y=cos2x D．
4．《九章算术》是我国古代第一部数学专著，全书收集了246个问题及其解法，其中一个问题为“现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面四节容积之和为3升，下面三节的容积之和为4升，求中间两节的容积各为多少？”该问题中第2节，第3节，第8节竹子的容积之和为（ ） A．
升 B．
升 C．
升
D．
升
5．如图是某几何体的三视图，其正视图、俯视图均为直径为2的半圆，则该几何体的表面积为（ ）
A．3π B．4π C．5π D．12π 6．二项式A．不含x9项
的展开式中（ ）
B．含x4项 C．含x2项 D．不含x项
7．A是抛物线y2=2px（p＞0）上的一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，当|AF|=4时，∠OFA=120°，则抛物线的准线方程是（ ）
- 1 -
A．x=﹣1 B．y=﹣1 C．x=﹣2 D．y=﹣2
8．某同学为实现“给定正整数N，求最小的正整数i，使得7i＞N，”设计程序框图如右，则判断框中可填入（ ）
A．x≤N B．x＜N C．x＞N D．x≥N
9．在△ABC中，C=A．
D．
，AB=3，则△ABC的周长为（ ）
C
B．．
10．函数y=ln|x|﹣x2的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
11．P是双曲线C： =1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线，P
在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则|PF1|+|PQ|的最小值为（ ）
- 2 -
A．1 B． C． D．
12．对于满足0＜b＜3a的任意实数a，b，函数f（x）=ax2+bx+c总有两个不同的零点，则A．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．
（1+cosx）dx= ．
的取值范围是（ ）
B．（1，2] C．[1，+∞） D．（2，+∞）
14．空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI大小分为六级，0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；大于300为严重污染．一环保人士当地某年的AQI记录数据中，随机抽取10个，用茎叶图记录如图．根据该统计数据，估计此地该年AQI大于100的天数约为为 ．（该年为365天）
15．化简： = ．
16．平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠BAD=120°，P是平行四边形ABCD内一点，且AP=1，若
三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
17．已知数列{an}为等差数列，其中a2+a3=8，a5=3a2． （1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}中，b1=1，b2=2，从数列{an}中取出第bn项记为cn，若{cn}是等比数列，求{bn}的前n项和．
，则3x+2y的最大值为 ．
- 3 -
18．张老师 上班，有路线①与路线②两条路线可供选择．
路线①：沿途有A，B两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为
，若A处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间2分钟；若B处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间3分钟；若两处都遇到绿灯，则全程所花时间为20分钟． 路线②：沿途有a，b两处独立运行的交通信号灯，且两处遇到绿灯的概率依次为
，若a处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间8分钟；若b处遇到红灯或黄灯，则导致延误时间5分钟；若两处都遇绿灯，则全程所化时间为15分钟． （1）若张老师选择路线①，求他20分钟能到校的概率；
（2）为使张老师日常上班途中所花时间较少，你建议张老师选择哪条路线？说明理由．
19．如图，以A，B，C，D，E为顶点的六面体中，△ABC和△ABD均为正三角形，且平面ABC⊥平面ABD，EC⊥面ABC，EC=（1）求证：DE⊥AB；
（2）求二面角D﹣BE﹣A的余弦值．
，AB=2．
20．如图，P是直线x=4上一动点，以P为圆心的圆Γ经定点B（1，0），直线l
是圆Γ在点B处的切线，过A（﹣1，0）作圆Γ的两条切线分别与l交于E，F两点．
（1）求证：|EA|+|EB|为定值；
（2）设直线l交直线x=4于点Q，证明：|EB|?|FQ|=|BF?|EQ|．
- 4 -
21．已知函数f（x）=ex﹣，a，f（x）为实数． （1）当a＞0时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极值点，且极值大于ln4+2，求a的取值范围．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为
，以坐标原点O
为极点，x轴的正半轴为极轴的坐标系中，曲线C2的方程为ρ（cosθ﹣msinθ）+1=0（m为常数）．
（1）求曲线C1，C2的直角坐标方程；
（2）设P点是C1上到x轴距离最小的点，当C2过点P时，求m的值．
选修4-5：不等式选讲
23．已知f（x）=|x﹣a|+|x﹣3|． （1）当a=1时，求f（x）的最小值；
（2）若不等式f（x）≤3的解集非空，求a的取值范围．
- 5 -