北京林业大学2007--2008学年第 一 学期考试试卷（A）答案
试卷名称： 复变函数与积分变换 课程所在院系： 理 学 院 试卷说明：
1. 本次考试为闭卷考试。本试卷共计 4 页，共 七 大部分，请勿漏答； 2. 考试时间为 120 分钟（8:00～10:00），请掌握好答题时间； 3. 答题之前，请将试卷和答题纸上的考试班级、学号、姓名填写清楚； 4. 运算过程中可能用到的公式
t11L[eat]?m;L[f?(t)]?sF(s)?f(0);L[?f(τ)dτ]?F(s).0s?as
m!1?1atL[t]?m?1;L[]?te.s(s?a)2一、填空题（每空2分，共20分）
1.Ln(?3?4i)?3ln5?iarctan?(2k?1)?4
3?2.设|z|?5,arg(z?i)?,则z?4
?1?2i3.函数f(z)?zImz?Rez仅在点z?i处可导
4.若解析函数f(z)?u?iv的实部u?x2?y2,那么f(z)?z2?iC5.若函数u(x,y)?x3?axy为某一解析函数的虚部,则常数a???3146.若幂级数?Cnzn在z?(1?3i)处收敛,那么该级数在z?i处的敛散性25n?1为收敛?7.幂级数?(1?i)nzn的收敛半径R?n?012
8.设z?0为函数z2?sinz2的m阶零点,那么m?6
19.设z0是f(z)的m阶零点，则z0是的f?(z)m?1阶极点
5s?110.已知F(s)?,则L?1[F(s)]?2e?t?3e2t(s?1)(s?2)
1
二、计算下列积分 （本大题共3小题，每小题10分，共30分） z1.I??dz,其中C是(1)|z|?1;(2)|z?2|?1;C(2z?1)(z?2)
1(3)|z?1|?;(4)|z|?3.2解：
11?i 4?i
?(1)I???2?i?0?;(2)I?;5255 (3)I?0;(4)I??i.
12.I??dz,其中C是(1)|z?3|?2;(2)|z?1|?3.C(z?2)2z3解：(1)只有z?2在积分域内,由高阶导数公式
1?12?
f(z)???,?5?2z?1z?2?13?1???zI??dz?2?i?3?C(z?2)2?z?z?23 ???i;8(2)z?0及z?2均在积分域内,由复合闭路定理及高阶导数公式
11 31(z?2)2zI??dz??dz??dz32C(z?2)2z3C1C2(z?2)z2?i?1????2?2!?(z?2)??
?1???z?0?2?i?3??z?z?2 3?i3?i???0.88 2
dz223.利用留数计算I???C(z?1)2(z2?1),C:x?y?2(x?y).解：C为(x?1)2+(y?1)2?2,
在C内被积函数有二阶极点z?1及一阶极点z?i,由留数定理得
?i ?11?I?2?i?Res[f(z),1]?Res[f(z),i]??2?i??????.2?24?
三、本题(10分)求一解析函数f(z),使f(z)的虚部为v(x,y)?2x2?x
?2y2,且满足f(1)?3i.
解：
v(x,y)?2x2?x?2y2,vx?4x?1,vy??4y, u(x,y)??vydx?vxdy??4xy?y?C
所以f(z)??4xy?y?C?i(2x2?x?2y2)
令y?0,得f(z)?2iz2?iz?C,由f(1)?3i?C?0,
故
1四、本题(10分)求函数f(z)?在圆环域0?|z|?1及2z(1?z) 0?|z?1|?1内的洛朗展式.解：(1) 在0?|z|?1内， ?11?1??nf(z)????(n?2)z;???2z?1?z?n??1z(1?z) (2)在0?|z?1|?1内，
3
f(z)?2iz2?iz.
?111nf(z)????(?1)(z?1).?22z(1?z)(1?z)1?z?1n??2
五、(本题10分)利用拉普拉斯变换求下列微分积分方程的解
y?(t)?4y(t)?4?t0 13y(?)d??t,y(0)?0.3解：将方程两端取拉氏变换，令L[y(t)]?Y(s),得
413!
sY(s)?4Y(s)?Y(s)??4s3s23111113111
即Y(s)?3?????2238s2s2s8s?24(s?2)2s(s?2)从而方程的解为
311232t12t
y(t)?L[Y(s)]??t?t?e?te.82484?1
?0,t?0;?0,t?0;六、本题(10分)设f1(t)??f2(t)???t求f1(t)?f2(t).?1,t?0,?e,t?0,解：
f1(t)?f2(t)??????f1(?)?f2(t??)d?,
当t?0时，f1(t)?f2(t)?0,
当t?0时，f1(t)?f2(t)??e?(t??)d??e?te?0tt0?1?e?t,
故?1?e?t,t?0,f1(t)?f2(t)???0,t?0.
七、本题(10分)如果f(z)?u?iv是解析函数,证明:
??|f(z)|???|f(z)|?2?|f?(z)|.??x?????y????
4
22证：
uuy?vvy uux?vvx??|f(z)?|,|fz(?)|,2222?x?yu?vu?v22222222 u(u?u)?v(v?v??????xyxy),??x|f(z)|????y|f(z)|??22u?v????利用C?R条件可知
??????222??x|f(z)|????y|f(z)|??ux?vx?|f?(z)|.????22 5