第七章 参数估计
注意： 这是第一稿（存在一些错误）
1、解 由?1?E(X)??^?03?2?2?2xf(x,?)d??，v1?D(X)?，可得?的矩???104202^估计量为??2X，这时E(?)?2E(X)??，D(?)?D(2X)?4?^?220n??25n。
3、解 由?1?E(X)?2?(1??)?2(1??)2?2(1??)，得?的矩估计量为：
??1?^X22?1??。 263建立关于?的似然函数：L(?)?(?2)3(2?(1??))2(1??)2?4?8(1??)4
^2?lnL(?)?(8ln??4ln(1??))84?? ????0，令得到?的极大似然估计值：
3?????1??4、解：矩估计：
?1?0???1???2??1??????2?2???，
?2??2?2???????2????1????2?????1?????, A1?1,
B2?3, 4222?????1,?2?2??故?22???????2??????2?2?????2????1?????????2?????3.1??4?
??1??,??4解得?为所求矩估计。
??3.???8?极大似然估计：
3L??,???P?X1?X4?X5?0,X2?X6?X8?2,X3?X7?1???3?2?1?????，
l??,???lnL??,???3ln??2ln??3ln?1?????，
??l??,??33???0,??3???,????1??????8?解得?即为所求。 ?l?,???23????0.??1.????1?????????4
5、解 由E(X)?p2?3p(1?p)?3(1?p)2?p2?3p?3，所以得到p的矩估计量为
p^?3?9?4(3?X)3?4X?32?2
建立关于p的似然函数：L(p)?(p(1?p))n0(p2)n1(3p(1?p)2)n2(1?p2)n32令?lnL(p)^n?2n?p?0，求得到?的极大似然估计值：p?01?n22n
6、解：(1)EX??10x???1?x?dx???1??2， 由???1????2?X得??2X?11?X为?的矩估计量。 ?n?L?,????f?x????1?n?nx?i,0?x?1,i,????i?1i?1 ??0,其他。?nl??,???lnL??,?????nln???1????lnxi,0?x?1, ?i?1?0,其他。????nn?1令
?l???n???n??1??lnxi?0得i，
i?1?lnxi?1所以?的极大似然估计为?n?n?1。
lnxii?1???(2)EX??1xf?x,??dx?e2，令e2?X得??0?2lnX为?的矩估计量。 ?n?lnx2i?L???1,????nf?x12?i?1i,????2???n?ne?i2i?1xi ，
nnl??,???lnL??,????ln?2?????lnxi?2i?1n??lnx?ii?1n2
2??l???n令?????2?(3)EX???lnxi?i?122?2??1?lnx?2为?的极大似然估计。 ?0得??ini?1n?20xf?x,??dx?2?， ??1?2???X为?的矩估计量。 令?X得???12?X??n?n?n??1??2?xi,0?x?2,L?????f?xi,???? i?1i?1?0,其他。?nn??nln??n?ln2????1??lnxi,0?x?2, l????lnL?????i?1?0,其他。?n?l???n????nln2??lnxi?0得，?令
???i?1nnln2??lnxii?1n为?的极大似然估计。
(4)EX???n100?100??100????2X?100为?的矩估计量。 xf?x,??dx??X得?，令
22L?????f?xi,???i?11?100???n，因0???100，要使L???最大，则?应取最大。
?又?不能大于min?x1,?,xn?，故?的极大似然估计为??min?X1,?,Xn?
(5)EX?????xf?x,??dx?0，故X?0。
varX?EX2?2?2，
nn211??由2?Xi?X???Xi2和??0得 ??ni?1ni?12????Xi?1n2i2n为?的矩估计量。
??Xi?n?1?i?1?,???x??, L?????f?xi,????nnei?1?2?0,其他。??则
n1n???nln2?nln???xi,???x??,l????lnL??????i?1?0,其他。 ?xin?l???n?1i?1??????0得?令?xi为?的极大似然估计。 2????ni?1n
7、解 （1）记p?P{X?4}，由题意有p?P{X?4}?P{X?4}?P{X??4} 根据极大似然估计的不变性可得概率p?P{X?4}的极大似然估计为：
p??(^4?424s2/25)??(?4?424s2/25)?0.5??(?44)??()?0.5?0.4484 66A?424s2/25)??(A?4)，26（2）由题意得：1?0.05?1?P{X?A}?P{X?A}??(^于是经查表可求得A的极大似然估计为A?12.0588
1n1n1n222228、(1)??X，E??Xi?????E?Xi??????EXi?2?EXi?????
ni?1ni?1ni?1nn?n?12?2(2)E?k??Xi?1?Xi???k?E?Xi?1?Xi??k??EXi?12?2EXi?1EXi?EXi2??2?n?1?k?2i?1i?1?i?1?
k?则
12?n?1?即为所求。
^8159、解 由题意得E(?1)?E(?Xi??Xi)?8??7???
i?1i?918115及E(?2)?E(?Xi??Xi)?2?????
4i?17i?9^所以?1和?2都是?的无偏估计量
又：D(?1)?D(?Xi??Xi)?8?2?7?2??2
i?1i?9^815^^18115875以及D(?2)?D(?Xi??Xi)??2??2??2
4i?17i?9164914^有D(?1)?D(?2)，说明?2更有效。
2210、(1)依题，Xi，Yj与Zl相互独立，ET?aES12?bES2?cES3??a?b?c??2
^^^故T是?的无偏估计的充要条件为a?b?c?1 (2)记n个样本的方差为S22n?1?S2?2?422，则 ???n?1?，D?S??2?n?122424故DS1?2?，DS2??，DS3?????22??24? 3?2b2c2?4故DT?aDS?bDS?cDS??a???2?
23??2212223b2c2?在a?b?c?1的条件下取最小值即可。 要使T为最有效估计，只须使a?232b2c2L?a?????a?b?c?1?令 232??L??a?2a???0,?a?1,??6?L???b???0,?1?由??b得?b?,即为所求。
3??L2c????0,???1c?.?c3??2???a?b?c?1.11、解 由题意可以求出：E(X2)??x2f(x;?)dx?2?。
0?建立建立关于?的似然函数：L(?)??in?1(Xi?e?Xi22?)，于是有：
2lnL(?)??ni?1ln(Xi?e?Xi22?X)??ln(Xi)?nln???i i?1i?12?nn