^?lnL(?)?nnXi2令???2?0，得到?的极大似然估计值：?????i?12?n?Xi?1n2i2n。
X122?)?E()???，无偏的。 又：E(?)?E(2n22^i?1?X2i?2x?,0?x??,12、f?x,?????2，??0，
?其他。?0,EX??xf?x,??dx????2???3X为?的矩估计量，且为无偏估计。 故?32nn?2n?x,0?x??,? L?????f?xi,?????2ni?1ii?1?0,其他。?显然L???关于?单调递减。故?取最小值时L???最大。
??X?max?X,?,X?为?的极大似然估计。 又?不小于max?X1,?,Xn?，故?21n?n??2n2n?1x,0?x??,?又fX?x,?????2n，
?n??其他。?0,故EX?n????2n0?2nx2ndx?2n? 2n?1??EX?即E?2?n?2n?为?的有偏估计。 ?故?22n?1?013、解 E(X)??^4X3?xf(x;?)dx?，于是得?的矩估计量为：??。
43建立建立关于?的似然函数：L(?)??(^ni?13Xi2?3)???Xi?，若使其似然函数最大，
于是可以求出?的极大似然估计值：??max(X1,X2,?,Xn)。 (2)由T1?22(X1?X2)，可计算E(T1)?[E(X1)?E(X2)]??。 33设Z?max(X1,X2)，那么
P{Z?t}?P(max(X1,X2)?t)?P(X1?t,X2?t)?P(X1?t)P(X2?t)，
当t?0时，P{Z?t}?P(max(X1,X2)?t)?0，
E?Z???(1?FZ(t))dt??(1?P(Z?t))dt??00???于是
0?t3??6??(1??)dt??????3?77 ??277从而：E(T2)?E(max(X1,X2))?E(max(X1,X2))??
66因此T1和T2都是?的无偏估计量。
244142? 又D(T1)?D((X1?X2))?[D(X1)?D(X2)]???2?39915135749493212D(T2)?D(max(X1,X2))?D(max(X1,X2))?????
6363619636421??D(T2)??2，所以T2比T1更有效。 由于D(T1)?1353614、(1)L?????f?xi,???ei?1nn???Xi???i?1n，
l(?)?lnL??????Xi?n?，
i?1l(?)为?的单调递增函数，故?取最大值时l(?)取最大值。
?1?X?1??min?X1,?,Xn?为?的极大似然估计。 又?不大于min?X1,?,Xn?，故?因F?x,?????xe??t???dt?1?e??x???
?n?x????,x??,?ne易知fX1?xi,????
??其他。??0,?1?EX?1???xfX1?xi,??dx???所以E?????*?1?1?是?的无偏估计。 ????1?1是?的有偏估计。
n，即?1n(2)EX?*1????2?X?1是?的矩估计量且为无偏估计。 xe??x???dx???1，则?1?????D???1???D???1??EX2(3)D???EX?1??1?n????2?1 2n?2??D?X?1??D?X??D??1**?1?2更有效。 ?1?D??，故?比??n(4)由切比雪夫不等式知，???0，P???*1?????1??*?1D????2?1?1n?22?1
?2??????1?P???2?D???2?1?1?1 n?2*?2为?的相合估计。 ?1故?与?15、解 由于E(X)??xf(x;?)dx?? ，可求出?的矩估计量为：??X
0?^又根据?的似然函数：L(?)??in?1f(Xi;?)???nen??Xi/?i?1n，
Xi^?lnL(?)?n?i?1??2?0，得到?的极大似然估计量：??X 令
????因此X既是?的矩估计量，也是极大似然估计量。
（2）E(c??Xi)?cn?，以及D(c??Xi)?cn?。用c??Xi作为?的估计量，
22i?1i?1i?1nnn其均方误差为：
Mse(c?Xi)?E[(c?Xi??)]?E[cnX?2cnX???2]??2c2n(1?n)?2cn?1
222i?1i?1n1于是，取c?时，在均方误差准则下，c??Xi比X更有效。
n?1i?1nn??2??16、(1)EX???0x2x?22dx??2???3X为?的矩估计量，且为无偏估计。 ，故?1322?2???x2dx???? ??3?1822x2DX?EX2??EX???099?2 ?D?1?DX?DX?44n8n??????1?故P?1n???D?1????1??228n?1，故??1为?的相合估计。
(2)L?????f?xi,???i?12n?2n?xi
i?1n易知L???为?的单调递减函数，故?取最小值时，L???取最大值。
??X?max?X,?,X?为?的极大似然估计。 又?不小于max?X1,?,Xn?，故?21n?n??2n2n?1x,0?x??,? fX?n??x,?????2n?其他。?0,??EX?故E?2?n?2n?为?的有偏估计。 ?，故?22n?12??DX?EX?EXD?2?n??n??n???2?n?2?n?1??2n?1?n?22
??????1?所以P?2???D?2?2???1??n?1??2n?1??22?1
?为?的相合估计。 故?217、解 （1）只对X做一次观察。由题意得：X的条件联合概率密度函数以及其联合概率密度函数分别为：
P(X?2|?)??(1??)2，P(X?2,?)??(1??)2，0???1
2从而P(X?2)??P(X?2,?)d????(1??)d??00111 12?的条件概率密度函数为?(?|X?2)?^1P(X?2,?)?12?(1??)2，
P(X?2)10于是?的贝叶斯估计为：?B????(?|X?2)d???12?2(1??)2d??02 5（2）对X做三次观察。由题意得：X1,X2,X3的条件联合概率密度函数以及其联合概率密度函数分别为：
P(X1?2,X2?3,X3?5|?)??3(1??)10，
P(X1?2,X2?3,X3?5;?)?P(X1?2,X2?3,X3?5|?)?(?)??3(1??)10，0???1 从而
P(X1?2,X2?3,X3?5)??P(X1?2,X2?3,X3?5;?)d????3(1??)10d??00111 4004?的条件概率密度函数为：
?(?|X1?2,X2?3,X3?5)?于是?的贝叶斯估计为：
P(X1?2,X2?3,X3?5;,?)?4004?3(1??)10，
P(X1?2,X2?3,X3?5)1?B????(?|X1?2,X2?3,X3?5)d???4004?4(1??)10d??00^14 15
?nx18、(1)因FX(1)???x??PX(1)???x?PX(1)???x?1?e与参数?无关，故可取
????X(1)??为关于?的区间估计问题的枢轴量。
(2)设常数a?b，满足
P?a?X(1)???b??1??，即PX(1)?b???X(1)?a?1??
??此时，区间的平均长度为L?b?a，易知，取a??1?1???ln?1??，b??ln时，区间
n2n?2?的长度最短，从而?的置信水平为1??的置信区间为
?1?1????X?ln,X??(1)n2(1)nln?1?2??。
????E(X)??xf(x;?)dx?19、解 由题意得：
0?1???，由题意得：?的矩估计量为：
^^1。 X由题意得：2??Xi~?2?14?，设存在两个数a和b，使得：
i?17P(a?2??Xi?b)?0.8，即P(i?17ab???)?0.8，经查表得到 14X14X2a??20.9?14??7.7895，b??014??21.0641，于是?的置信水平为80%的双侧置.1??0.561.50?信区间为：（?,?
X??X20、易知?的置信水平为95%的置信区间为?X????nz0.025,X???z0.025? n?将z0.025?1.96，??10，n?25，X?140代入得
?的置信水平为95%的置信区间为?136.08,143.92?。
21、解设
X??~t(10?1)， 由题意得，x?5.68，s?0.29，由给定的置信水平
S/1095%，利用Excel得到t0.025(9)?2.2622，所以?的置信水平为95%的置信区间为：
(x?t0.025(9)?0.29/10,x?t0.025(9)?0.29/10)?(5.473,5.887)