对数函数图像和性质及经典例题 第一部分：回顾基础知识点
对数函数的概念：函数y对数函数的图象和性质
1 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象； ○（1） （3）
． ?logax(a?0，且a?1)叫做对数函数其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞）
y?log2x （2） y?log1x
2y?log3x （4） y?log1x
32 对数函数的性质如下： ○ 图象特征 函数性质 a?1 函数图象都在y轴右侧 图象关于原点和y轴不对称 向y轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点（1，1） 自左向右看， 图象逐渐上升 第一象限的图象纵坐标都大于0 0?a?1 a?1 0?a?1 函数的定义域为（0，＋∞） 非奇非偶函数 函数的值域为R 1??1 自左向右看， 图象逐渐下降 第一象限的图象纵坐标都大于0 第二象限的图象纵坐标都小于0 增函数 减函数 x?1,logax?0 0?x?1,logax?0 第二象限的图象纵坐标都小于0 0?x?1,logax?0 x?1,logax?0 3 底数a是如何影响函数y?logax的． ○
规律：在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大．
第二部分：对数函数图像及性质应用
例1．如图，A，B，C为函数
y?log1x的图象上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4(t?1).
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(1)设?ABC的面积为S。求S=f (t) ； (2)判断函数S=f (t)的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值.
解：（1）过A,B,C,分别作AA1,BB1,CC1垂直于x轴，垂足为A1,B1,C1， 则S=S梯形AA1B1B+S梯形BB1C1C－S梯形AA1C1C.
t2?4t4?log1?log(1?) 322(t?2)t?4t3（2）因为v=t?4t在[1,??)上是增函数,且v?5,
249v?1?在?5.???上是减函数，且1 5vS?log3u在?1,?9?上是增函数， ??5?4)在?1,???上是减函数 2t?4t9（3）由（2）知t=1时，S有最大值，最大值是f (1) ?log3?2?log35 5所以复合函数S=f(t) ?log3(1?2x例2．已知函数f(x2-3)=lg2, x?6(1)f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性； (3)求f(x)的反函数; (4)若f[?(x)]=lgx,求?(3)的值。 2(x?3)?3解：（1）∵f(x2-3)=lg2, (x?3)?3 ∴f(x)=lg x?3, x?3 x2?0 又由2x?6 得x2-3>3, ∴ f(x)的定义域为（3，+?）。 （2）∵f(x)的定义域不关于原点对称， ∴ f(x)为非奇非偶函数。 （3）由y=lg x?3, x?33(10y?1) 得x=, y10?1 ?x>3,解得y>0, 3(10x?1)(x?0) ∴f(x)= 10x?1-1 (4) ∵f[?(3)]=lg ?(3)?3?lg3, ?(3)?3 ∴ ?(3)?3?3， ?(3)?3 解得?(3)=6。 例3.已知x>0,y?0,且x+2y= 1,求g=log 1(8xy+4y2+1)的最小值。 221-2y>0, 21 ?0?y?, 41 由g=log(8xy+4y2+1) 21 =log(-12y2+4y+1) 2141 =log[-12(y-)2+], 263解：由已知x= ?当y= 14,g的最小值为log1 632xf(x)?log(a?1)（a?0且a?1）a例4. 已知函数． 求证：（1）函数 （2）函数 xf(x)的图象在y轴的一侧； f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0． x证明：（1）由a?1?0得：a?1， ∴当a?1时，x?0， 即函数f(x)的定义域为(0,??)， 此时函数f(x)的图象在 y轴的右侧； 当0?a?1时，x?0， 即函数f(x)的定义域为(??,0)， 此时函数f(x)的图象在∴函数f(x)的图象在 y轴的左侧． y轴的一侧； ?x2， （2）设A(x1,y1)、B(x2,y2)是函数f(x)图象上任意两点，且x1则直线 AB的斜率k?y1?y2， x1?x2x2ax1?1y1?y2?loga(a?1)?loga(a?1)?logax2， a?1x1当a?1时，由（1）知0?∴1?a1?a2， ∴0?a1?1?axx2xxx1?x2， ?1， ax1?1?1， ∴0?xa2?1∴ y1?y2?0，又x1?x2?0， ∴k?0； 当0?a?1时，由（1）知x1∴ax1?x2?0， ?ax2?1， ∴a1?1?axx2?1?0， ax1?1?1， ∴xa2?1∴ y1?y2?0，又x1?x2?0， ∴k?0． ∴函数f(x)图象上任意两点连线的斜率都大于0．