复变函数与积分变换
（修订版）
主编：马柏林
（复旦大学出版社）
——课后习题答案
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习题一
1. 用复数的代数形式a+ib表示下列复数
e?iπ/4
?18?8?0i??1
??1?i3?Im??0???2??
31?i∴Re??;3?5i7i?1;(2?i)(4?3i);1i??1?i3??1, ??2??．
?.
④解：
3∵
??1?3 ①解e?π4i?π??π??cos????isin?????4??4??2????22?2?i????22?22i
??1?i3??????2???3???1????3?22??3???1????3??3?3?i??8②解：
3?5i7i?1??3?5i??1?7i??1+7i??1?7i???1625?1325i
?18????8?0i??1
??1?i3?Im??0???2??③解： ?2?i??4?3i??8?3?④解：
1i?31?i=?i?3?1?i?24i?6i?5?10i3252∴Re??1?i23??1, ???k．
??i
???1?,?n⑤解： ∵i??k????1??i,3
2.求下列各复数的实部和虚部(z=x+iy)
z?az?a(a?????); z3;??1?i3?;??1?i3?;in.
?2??2?3n?2kn?2k?1k??．
Im?in∴当n 当
?2k时，Re?i????1?，Im?i??0；
nkn①
则
z?az?a?：∵设z=x+iy
n?2k?1k时，
R?e??in，
0????1?．
?x?iy???x?iy??aa??x?a??iy?x?a??iy????x?a??iy?????x?a??iy???x?a?2222?y23.求下列复数的模和共轭复数
?2?i;?3;(2?i)(3?2i);51?i2.
∴
x?a?y?z?a?Re???22?z?a??x?a??y,
①解：
?2?i?4?1?．
?z?a?Im???z?a??2xy?2?i??2?i?x?a?2?y2．
?3??3②解：?3?3
5?13?65②解： 设z=x+iy ∵
z??x?iy???x?iy??x?x?y232332③解：?2?i??3?2i??x?iy???x2?2?i3?2i?．
?y?2xyi??x?iy?2
?2?i??3?2i???2?i???3?2i???2?i???3?2i??4?7i
??2xy22222??y?x?y??2xy?i??3④解：
1?i2?1?i2?22?x?3xy??3xy?y2?i3
∴
Im?z3Re?z??x?3xy32,
?1?i??1?i?1?i????22?2?
??3x32y?y3．
4、证明：当且仅当z?z③解： ∵
??1?i3??????2??3时，z才是实数．
?x?iy??1?i3?8?1??1?3???1???8???3?22???3???1??????3??3?3????
证明：若z?z，设z，
则有
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x?iy?x?iy，从而有?2y?i?0，即y=0
∴z=x为实数． 若z=x，x∈?，则z∴z?z?x?x．
①解：
3?5i7i?1??3?5i??1?7i?
?1?7i??1?7i??175?π2．
?38?16i50?19?8i25i???ei??其中??π?arctan819．
命题成立．
z?w≤②解：iz?w?eπ2其中?．
5、设z,w∈C，证明：
证明∵
z?w2
??z?w???z?w???z?w?z?w??
i?ei
eiπ③解：?1?④解：
?eπi
?z?z?z?w?w?z?w?w?8π1??3i??16π????23πi23π.
?z?z2?zw?z?w?w?w2??2
2?2Rez?w??∴?8π?1?3i?16π?e3?
≤z2?w?w2?2z?w?2z?w22π2π???isin⑤解：?cos?99??
?z?22
解：∵
2π2π??cos?isin??99??3?z?wz?w??1．
∴
≤z?w．
8.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 的平方根.
⑴i的三次根． 解：
26、设z,w∈C，证明下列不等式．
z?w2i?π.32π2π??9?isin?e∴?cos??1?e99??322π3i
?z2?2Rez?w?w??2
z?w2?z2?2Rez?w?w2??23?3iz?w2?z?w?2?z2?w2?
在上面第五题
并给出最后一个等式的几何解释． 证明：
z?w2?z2?2Rez?w?w??13的证明已经证明了． 下面证
∵
z?w22π?3?i??cos?isin??cos22??π2kπ?3π2?isin2kπ?3π2?k?0,1,2?
?z2?2Rez?w?w??2．
∴
z?w??z?w???z?w???z?w?z?w?z2??
z1?cosz2?cosπ656?isinπ6?5632?12i12．
?i?z?w?w?z?w?2Rez?w?w22π?isin96π??3296
32?12i
∴
z?w2?z2??2．从而得证．
z3?cosπ?isinπ??
?z?w?2?z2?w2?
⑵-1的三次根
解：
13几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和．
7.将下列复数表示为指数形式或三角形式
3?5i7i?1;i;?1;?8π(1?3i);2π2π? ??isin?cos?.99??3?1??cosπ?isinπ?3?cos2kπ+π3?isin2kπ?π3?k?0,1,2?
∴z1
?cosπ3?isinπ3?12?32i
z2?cosπ?isinπ??1
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⑶
3?z3?cos53π?isin53π??12?32i
3i的平方根．
?226????22??i????πi是α-β=90°．
12.指出下列各式中点z所确定的平面图形，并作出草图.
(1)argz?π;(2)z?1?z;(3)1?z?i|?2;解：
3?3?3i=6?e4
∴
1
3i??π6?e41i?2ππ??2kπ?2kπ???44?64??cos?isin??22?1(4)Rez?Imz;?k?0,1?
(5)Imz?1且z?2.
iππ??∴z1?6??cos?isin??64?e888??4111π
9解：
(1)、argz=π．表示负实轴．
πi99??z2?64??cosπ?isinπ??64?e8．
88??9.设z?ei2πn,n?2. 证明：1?z???zi?2πnn?1?0
证明：∵z
?e ∴zn?1，即z?1?0nn?1．
(2)、|z-1|=|z|．表示直线z=
i? ∴?z?1??1?z???z??0
12又∵n≥2． ∴z≠1
从而1?z?z+??z2n?1?0
．
11.设?是圆周{z:z?c?r},r?0,a?c?re.令
???z?a?L???z:Im??0???b???,
i?其中b?e.求出L?在a切于圆周?的关于?的充
分必要条件. 解：如图所示．
(3)、1<|z+i|<2 解：表示以-i为圆心，以1和2为半径的周圆所组成的圆环域。
因为L?={z:
?z?a?Im???b?=0}表示通过点a且方
（4）、Re(z)>Imz．
解：表示直线y=x的右下半平面
向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，则CA⊥L?．过C作直线平行L?，则有∠BCD=β，∠ACB=90° 故α-β=90°
所以L?在α处切于圆周T的关于β的充要条件
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所以
u?x?y,v?2xy.22
π4(1) 记w??e，则
轴上从O到4i的一段，即
0???4,??π2.i?0?r?,2??映射成w平面内虚
5、Imz>1，且|z|<2．
解：表示圆盘内的一弓形域。
(2) 记
习题二
w?z?1zw??ei?0???π4,0?r?2，则映成了w平面
π2.0???4,0???上扇形域，即
1. 求映射解：设z
u?iv?x?iy?1x?iy下圆周|z|?w?u?iv2的像.
?x?iy,则
?x?iy?x?iyx?y22?x?xx?y2?i(y?2yx?y2)
2 因为x所以
x?2?y?4542u?iv?54x?34yi(3) 记
2w?u?iv2
，则将直线x=a映成了即
v?4a(a?u).222,所以
34yu?a?y,v?2ay.是以原点为焦
u?xv??,
v34
点，张口向左的抛物线将y=b映成了
u?x?b,v?2xb.
22u54,y?
u
?2u5222所以??542?v??342即???v3222???1 即
，表示椭圆.
v?4b(b?u)222是以原点为焦点，张口向右抛物
线如图所示.
2. 在映射w?z2下，下列z平面上的图形映射为w
??ei?平面上的什么图形，设w0?r?2,??π4或w?u?iv.
（1）
0?r?2,0???π4； （2）
2;
(3) x=a, y=b.(a, b为实数) 解：设w?u?iv?(x?iy)?x?y?2xyi22
3. 求下列极限.
lim11?z2 (1)
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z??;