证明:设
an?xn?iyn,an?(xn?iyn)?xn?yn?2xnyni2222
敛，z?2?1?时发散.
因为?n?1?an和?n?1?an2收敛
若在z=0处收敛,则
?2?1???1?2
所以?n?1xn,?yn,?(xn?yn),?xnynn?1n?1n?1收敛
若在z=3处发散, 则
??1
又因为Re(an)?0,
xn?limxn?0 所以xn?0且limn??n??2?显然矛盾,所以幂级数?Cn(z?2)不能在z=0处
n?0n当n充分大时, xn?xn
?2所以?xn收敛
n?12an2?xn?yn?2xn?(xn?yn)
?222222?而?2xn收敛，?(xn2?yn2)收敛
n?1n?1??收敛而在z=3处发散
6.下列说法是否正确?为什么?
(1)每一个幂级数在它的收敛圆周上处处收敛. (2) 每一个幂级数的和函数在它的收敛圆内可能有奇点.
答: (1) 不正确,因为幂级数在它的收敛圆周上可能收敛,也可能发散.
(2) 不正确,因为收敛的幂级数的和函数在收敛圆周内是解析的.
??所以?ann?1?2收敛，从而级数?an绝对收敛.
n?1n?127.若?n?0Cnz的收敛半径为R,求?n?0nCnbnz的收敛半
n4.讨论级数?n?0(z?z)n的敛散性
径。
n?1n解 因为部分和sn??(zk?0k?1?z)?zkCn?1?1，所以，
b解： 因为limn??n?1Cnbn?limn??Cn?1Cn?1b?11Rb
当z?1时,sn??1
当z?1时,sn?0，当z??1时,sn不存在.
所以 R??R?b
?当z?ei?而??0时（即z?1,z?1），cosnθ和
8.证明：若幂级数
nliman??，则 n???an?0nzn的 系数满足
sinnθ都没有极限,所以也不收敛．
当z>1时,sn??.
?n?1n故当z?1和z?1时, ?(z?z)收敛.
n?0(1)当0?????时, R(2) 当??0?1?
时, R???
?(3) 当????时, R?0 证明：考虑正项级数
?5.幂级数?Cn(z?2)能否在z=0处收敛而在z=3
n?0n?n?0anzn?a1z?a2z2?...?anzn?...
处发散. 解： 设limCn?1Cn??，则当z?2?1n???时，级数收
由于linmanzn??n?n??nnlani?mzn???z，若
16 / 37
0?????，由正项级数的根值判别法知，当
1?要级数收敛,则
z?2 ??z?1时，即z??1时，
?n?0anzn收敛。当
级数绝对收敛,收敛半径为
R?2 ??z?1时，即z??时，anzn2不能趋于
1所以收敛圆周
z?2零,limn??nanzn?1级数发散.故收敛半径R?
z?1nn?1?.
当??0时, ??z?1,级数收敛且R???. 若????,对?z?0,当充分大时,必有anz趋于零,级数发散.且R?0
9.求下列级数的收敛半径，并写出收敛圆周。 (1)?
??inn(n?1)f(z)?()?(z?1)(4) 记 nnlimnn2不能
n??fn(z)?limn(z?1)nnn(n?1)?limn??n?????,??????若????1若????1
所以
z?1?1时绝对收敛,收敛半径R?1
收敛圆周
z?1?1(z?i)npn?n?0 (2)?np?zn n?0
?2n?12n?z2n?1
10.求下列级数的和函数.
?(3) ?n?0(?i)n?1?n?1
(1)?(?1) n?1解: (1)
Cn?1Cn?nzn (2)
n?0?(?1)n?z2n(2n)!
inn(n?1)()?(z?1)(4) ?n?0n?
解: (１)
1(n?1)plimn???limn??n?1n?1limn??1np?lim(n??nn?1)p?lim(1?n??1n?1
)p?1故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：
?R?1收敛圆周
z?i?1
??0z??(?1)nznn-1dz??n?1(?1)z?nnz1?z
n?1所以
?(2)
limn??(n?1)npp??1n?1(?1)?nznn-1?(z1?z)??1(1?z)2,z?1
R?1于是有：
??所以收敛圆周
z?1
n?1?n?1(?1)n?1?nz??zn?(?1)n?1n?nzn?1??z(1?z)2z?1
(3) 记 fn(z)?(?i)由比值法,有
limn???2n?12n?z2n?1
(2) 令：
?s(z)?(2n?1)?2(2n?1)?2n?(?1)n?0n?z2n(2n)!
fn?1(z)fn(z)?limn???z2n?12n?1?z2n?1?12z2
?limn??Cn?1Cn?limn??1(2n?1)(2n?2)?0.
17 / 37
故R=∞, 由逐项求导性质
??s?(z)??(?1)n?1nn?z2n?1?Cn?0n，是收敛的，这与收敛半径的概念矛盾。
(2n?1)!?
z2m??s??(z)??(?1)n?1?z2n?2(2n?2)!??(?1)m?0m+1?(2m)!(m?n?1)???(?1)?n?0nz2n由
综上述可知，必有??1，所以
R?1?1(2n)!此得到s??(z)??s(z)
即有微分方程s??(z)?s(z)?0
故有：s(z)?Acosz?Bsinz， A, B待定。
??
?12.若?Cn?0nzn在z0点处发散，证明级数对于所有满
足z?z0点z都发散.
?由S(0)?A?[?(?1)?n?0?nz2n(2n)!n]z?0?1?A?1
证明：不妨设当
z2n?1z1?z0时，?Cn?0znn在z1处收敛
?s?(0)??sinz?Bcosz?[?(?1)?n?1(2n?1)!]z?0?0?B?0
?所以
?则对
n?z?z1，n?0?Cznn绝对收敛，则n?0?Cnzn在
?n?0(?1)?z2n(2n)!??cosz.R???
?点z0处收敛
?11.设级数?n?0Cn收敛，而?n?0Cn发散，证明?Cnzn的
n?0?所以矛盾,从而?Cn?0nzn在z?z0处发散.
?z收敛半径为1
?证明：因为级数?n?0Cn收敛
13.用直接法将函数泰勒级数,(到
z4ln(1?e)在z?0点处展开为
设
limn??项),并指出其收敛半径.
?zCn?1ZCnZn?1n??z.
解:因为ln(1?e)?ln(1?eezz)
若
?奇点为zk?(2k?1)πi(k?0,?1,...)n?Cn?0z的收敛半径为1
n
所以R?π 又
ln(1?e?z则z?1?
)z?0?ln2
现用反证法证明??1 若
0???1[ln(1?emilCn?1Cn??1???z)]???e?z?zz?01?e??12
122则
z?1，有n??，即?n?0Cn收
[ln(1?e?z)]????e?z?z敛，与条件矛盾。
?(1?e?z)2z?0??
若??1则z?1，从而?Cnz在单位圆上等于
n?0n[ln(1?e?z)]?????e?e?z?2z(1?e)3z?0?0
18 / 37
[ln(1?e?z)](4)?e?z(1?4e(1?e?z?z?e)4?2z)z?0??12312z?3??13?2z??13?1?123z1??13???(n?023z),z?n32
12z?3?12z?2?1?12(z?1)?1?于是，有展开式
ln(1?e?z??1?2(z?1)???2(z?1),z?1?n?0nn12
)?ln2?12z?12!22z?214!23z?...,R?π4?
2(2) sinz?3?n?0?(?1)n1(2n?1)!3z2n?1?z?z33!?z55!?...
14.用直接法将函数1?z2在为泰勒级数,(到解：又
f(z)?11?z2z?1?点处展开
sinz?32n(z?1)14项)
2?4(?1)?n?1n?0(2n?1)!1z2n?1,z??
z??i为1?z2的奇点，所以收敛半径R?12
12
?arctanz?(3)
?z01?z2dz
?z??i为奇点，?R?1arctanz?z,f(1)??11?z0dz?2??0z??(?1)zn2ndz??(?1)n?0n?12n?1?z2n?1,z?1
f?(z)??2z(1?z)22n?0,f?(1)??(4)
1(z?1)(z?2)?1z?1?1z?21?n?1z?2?3?1z?2?4?13?1?1z?23?14?1?1z?24f??(z)??2?6z(1?z)223,f??(1)?12
?1?n?(?1)3n?0?nn?0?(z?23?)?1n?(?1)4n?0n?(z?24)n??(?1)?(13n?1f???(z)?24z?24z(1?z)2434n?1)(z?2),z?2?3,f???(1)?0
(5)因为从z??1沿负实轴ln(1?z)不解析
f(4)(z)?24?240z?120z(1?z)2524,f(4)(1)?0
所以,收敛半径为R=1
[ln(1?z)]??11?z??于是，f(z)在z?1处的泰勒级数为
11?z2??(?1)n?0nnn?zn
1n 15.用间接法将下列函数展开为泰勒级数，并指出其收敛性.
(1) 2z?3分别在z?0和z?1处 (2)
sinz3?12?12(z?1)?14(z?1)?234!(z?1)?...,R?42ln(1?z)???0z?(?1)?zdz??n?0(?1)?n?zn?1,z?1n?0
16.为什么区域z?R内解析且在区间(?R,R)取实数值的函数f(z)展开成z的幂级数时，展开式的系
1在z?0处
数都是实数？
答：因为当z取实数值时，f(z)与f(x)的泰勒级数展开式是完全一致的，而在x?R内，f(x)的展开式系数都是实数。所以在z?R内，f(z)的幂级数展开式的系数是实数. 17.求
19 / 37
(3) arctanz在z?0处
zz?2(4) (z?1)(z?2)在
处
(5) ln(1?z)在z?0处 解 （1）
f(z)?2z?12z?z?2的以
z?0为中心的各个圆
环域内的罗朗级数. 解:函数
z?0zz1?1f(z)有奇点与
z2??2,有三个以
而1?z?1?1z?1z2?...要求z?1
所以,在不同区域内
为中心的圆环域,其罗朗级数.分别为：
2z?1z?z?22z1?zzn()2?zz?1?...?1z6?1z2?1z?1?1?z?z?z?...?023
在z?1内，f(z)?=1z?1?1z?2????z?n?0n1?n?(?1)2n?0
21.证明:
f(z)?cos(z?1???((?1)n?0n?12n?1)z用z的幂表示的罗朗
?1)zn级数展开式中的系数为
11?z19.在1?z???内将f(z)?e展开成罗朗级
Cn?数. 解:令
t?11?z则
12!13!,?2π12π0cos(2cos?)cosn?d?.n?0,?1,...
证明:因为
z?0和
z??是
1cos(z?1)所以z的奇点，
f(z)?e?1?t?t?t?2?t?...3 在
0?z??内，
n??cos(z?z的罗朗级数为
)而
t?11?z在
1?z???内展开式为
1z?1z2cos(z?1z)??n???Cnzn
11?z??1z?11?1z??1z?(1??...)
其中Cn?12πicos(??1所以,代入可得
f(z)?1??1?1z?1z12z2?c?)d?,n?0,?1,?2,...?n?1
?(1??1z3??1z2?...)?1?112!z195?(1??...1z?1z2?...)?...2其中C为0?z??内任一条绕原点的简单曲线.
Cn??12πi112π12πicos(z?1)zdz,(z?ei?,0???2π))ied??i?16z24z4120z20.有人做下列运算,并根据运算做出如下结果
z1?zzz?1?z?z?z?...23??z?1i?zen?1?02π0cos(e?e?i?12πi(n?1)??2π0cos(ei??e?i?)ein?d?
???2π?2πcos(ei??e?i?)?(cosn??isinn?)d?n?0,?1,...
?1?1z?1z22π0?...
cos(2cos?)cosn?d?.z因为1?z1z3?zz?11z?0,所以有结果
22.
z?0是函数
f(z)?1cos(1z)的孤立奇点吗?为
...??1z2什么?
?1?1?z?z?z?...?023?
解: 因为
f(z)?1cos(1z)的奇点有
z?0
你认为正确吗?为什么?
z1?z?z?z?...23答:不正确,因为1?z要求
z?1
z?kπ?π2?z?1kπ?π2(k?0,?1,?2,...)
20 / 37