三明市2014—2015学年第二学期普通高中阶段性考试
高二理科数学试题参考答案与评分标准
一、选择题： 题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 B 5 A 6 D 7 A 8 B 9 D 10 C 11 C 12 B 二、填空题：
13．3 14． 300 15．2.8 16．10 三、解答题：
17．解：（Ⅰ）∵z?a?i，|z|?10，∴|z|?a2?1?10，?????????2分
a2?9，a??3，又∵a?0， ?????????4分
∴a?3， ?????????5分
∴z?3?i． ?????????6分 （Ⅱ）∵z?3?i,则z?3?i， ???????7分
m?i(m?i)(1?i)m?5(m?1)i?3?i???∴z?， ???????9分 1?i(1?i)(1?i)22又∵复数z?m?i对应的点在第四象限， 1?i?m?5?0,??m??5,?2∴? 得? ???????11分
m?1m?1,???0,??2∴?5?m?1． ???????12分
r5?rrrr18. 解：（Ⅰ）∵(1+2x)5的展开式通项是Tr?1?C51(2x)r?C52x， ???1分
222∴展开式的第三项是：T2?1?C52x?40x2，
即第三项系数是p?40． ????3分
3又∵展开式的第四项的二项式系数为C5，
3∴q?C5?10． ????5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得p?40，q?10，则
参加数学第二课堂活动 未参加数学第二课堂活动 总计 优秀 40 10 50 非优秀 60 90 150 总计 100 100 200 ???8分
高二理科数学试题 第 6 页（共 10页）
200(40?90?10?60)2 k? =24?6.635, ????11分
50?150?100?1002P(K2?6.635)?0.010,
所以按照99%的可靠性要求，能够判断成绩优秀与参加数学第二课堂活动有关. ??12分 19、解：（Ⅰ）记“每箱水果不能上市销售”为事件A，则P(A)?1?(1?)(1?所以每箱水果不能上市销售的概率为
1911)?， 1051. ????3分 5（Ⅱ）由已知，可知X的取值为?120,?70,?20,30,80. ????4分
1164144031341P(X??120)?C4()()?，P(X??70)?C4()()?,
5562555625962562124211143P(X??20)?C4()()?，P(X?30)?C4()()?,
556255562525601044P(X?80)?C4()()?. ??????9分
55625所以X的分布列为：
X -120 -70 -20 30 80
11696256256 P
625625625625625
??????10分 E(X)??120?11696256256?70??20??30??80??40， 625625625625625所以X的数学期望为40元. ??????12分 （注：设4箱水果中可销售水果箱数为Y，用Y为0，1，2，3，4，先求出P(Y），然后算E(X) 的酌情给分）. 20. 解：(Ⅰ) a1?1, a2?359, a3?, a4?, ???? 4分 48162n?1?1(n?N?)． ???? 5分 (Ⅱ) 由此猜想an?n2证明：①当n?1时，a1?1，结论成立． ???? 6分
2k?1?1②假设n?k(k?1且k∈N)时，结论成立，即ak?， ???? 7分
2k(k?1)?3k?31?ak?1??ak??ak?ak?1, 那么n?k?1时，ak?1?Sk?1?Sk?2221所以2ak?1??ak, ???? 9分
2*
高二理科数学试题 第 7 页（共 10页）
112k?1?1?ak?k2k?1?2k?1?12k?1222则ak?1????k?1， k222?22这表明n?k?1时，结论成立， ??????? 11分 2n?1?1(n?N?)成立． ????? 12分 由①②知an?n221．解：（Ⅰ）F(x)?ln(x?1)?111?2， ???????1分 , F?(x)?xx?1x由题设x?0，所以得F?(x)?0，
故F(x)在区间(0,??)上是增函数． ???????3分 （Ⅱ） ∵ f(x)?m，∴(x?1)ln(x?1)?m， x?1设h(x)?(x?1)ln(x?1) 则h?(x)?ln(x?1)?1， ???????4分
x
h?(x) h(x)
??1?11,?1?) e2e?
↘
1?1?
e0
11(?1?,1?2)
ee?
↗
∵h(0)?0，h(?1? ∴h(?1?∴?1112，， )??h(?1?)??22eeee11，又)?h(0)?0h(1?)?h(0)?0， ???????6分
e2e212?m??2， ee1e即m?(?,?m211f(x)?时，方程在区间][?1?,1?)有两不相等的实数根．
x?1e2e2e2f(x)k?g(x)?恒成立， xx?1 ???????7分 （Ⅲ）当x?0时, ,若即k?x?1[1?ln(x?1)]在(0,??)上恒成立, xx?1x?1?ln(x?1)[1?ln(x?1)]，则??(x)?， ???????8分 xx21x??0, ???????9分 x?1x?1设?(x)?再设G(x)?x?1?ln(x?1)，则G?(x)?1?高二理科数学试题 第 8 页（共 10页）
故G(x)在(0,??)上单调递增，
而G(1)??ln2?0,G(2)?1?ln3?0,G(3)?2?2ln2?0， 故G(x)?0在(0,??)上存在唯一实数根a?(2,3)，
即x?a是方程x?1?ln(x?1)?0在(0,??)上有唯一解． ???????10分 故当x?(0,a)时，G(x)?0，??(x)?0；当x?(a,??)时G(x)?0，??(x)?0， 故?(x)min??(a)?a?1?1?ln(a?1)??a?1?(3,4), a?k?3，故kmax?3． ???????12分
1?x?t,?222．解法一：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为? ?y?25?t,?∴直线l的直角坐标方程为2x?y?25?0， ?????? 1分 又∵曲线C1的极坐标方程为??2，
∴曲线C1的直角坐标方程为x2?y2?4，圆心为C1(0,0)，r?2，????? 3分 ∴圆心C1到直线l的距离为d?|25|?2?r， ????? 4分 5∴直线l与圆C1相切． ?????? 5分
??x?2cos?,(?为参数）（Ⅱ）∵曲线C2的参数方程为?，
y?3sin???x2y2∴曲线C2的普通方程为??1， ????????6分
43又∵M,N分别为曲线C2的上下顶点， ∴M(0,3),N(0,?3)，?????7分 由曲线C1：x?y?4，可得其参数方程为?所以P点坐标为(2cos?,2sin?)， 因此PM+PN2222?x?2cos?,
y?2sin?,??(2cos?)2?(2sin??3)2?(2cos?)2?(2sin??3)2
?7?43sin??7?43sin??14为定值．??????10分
高二理科数学试题 第 9 页（共 10页）
解法二：（Ⅰ）同解法一．
??x?2cos?,(?为参数）（Ⅱ）∵曲线C2的参数方程为?，
??y?3sin?x2y2∴曲线C2的普通方程为??1， ????????6分
43又∵M,N分别为曲线C2的上下顶点，
∴M(0,3),N(0,?3)， 设P点坐标为(x,y)，则x2?y2?4， 因此PM2+PN2?x2?(y?3)2?x2?(y?3)2
?7?23y?7?23y?14为定值．
高二理科数学试题 第 10 页（共 10页）
?????7分 ??????10分