秘密★启用前 试卷类型：A 江门市2015年高考模拟考试
数学（理科） 2015.3
本试卷共4页，21小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：
1． 答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上。
2． 做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干
净后，再选涂其它答案标号。
3． 非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上。 4． 所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按以上要求作答的答案无效。 5． 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
[来源:学。科。网]参考公式：锥体的体积公式V?1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3如果事件A、B互斥，那么P(A?B)?P(A)?P(B)．
?用最小二乘法求线性回归方程系数公式，b?
?xyii?1ni?1ni2?nx?y2??，a?y?bx．
?xi?nx一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1．i 是虚数单位，A．
1? 2( 1?i )i1i B．? C． D．2i 2222．函数f(x)的定义域为实数集R，“f(x)是奇函数”是“|f(x)|是偶函数”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件
3．?an?是等差数列，a1与a2的等差中项为1，a2与a3的等差中项为2，则公差d? A．2 B．
[来源学科网]
31 C．1 D． 224．函数f(x)?sin(x??)在区间( , ?32?)上单调递增，常数?的值可能是 3A．0 B．
3?? C．? D．
22x2?y2?1的两条渐近线夹角（锐角）为?，则tan?? 5．双曲线C：434815A． B． C． D．
43158
6．一个四面体如图1，若该四面体的正视图（主视图）、侧视图（左视图）和俯视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则它的体积V?
A．7．(1111 B． C． D． 23612yx?xy)16的二项展开式17个项中，整式的个数是
A．1 B．3 C．5 D．7
8．设a?b?1，集合A??x|x?Z , 0?x?a?，B??x|x?Z , ?b?x?b?，记“从集合A中任取一个元素x，x?B”为事件M，“从集合A中任取一个元素x，x?B”为事件N．给定下列三个命题：
①当a?5，b?3时，P(M)?P(N)?②若P(M)?1，则a?2，b?1； ③P(M)?P(N)?1恒成立． 其中，为真命题的是
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
1； 2
二、填空题：本大题共7小题，考生作答4小题，每小题5分，满分30分． (一)必做题（9～13题）
9．不等式|x?1|?|x?2|?5的解集为 ．
10．已知抛物线C：y2?8x的焦点为F，P是C上一点，
若P在第一象限，|PF|?8，则点P的坐标为 ．
?x2?y2?1?11．若变量x、y满足约束条件?x?0，则
?y?0?z?x?2y的最大值M? ．
12．运行如图2所示的程序框图，输出的结果S? ．
13．已知x与y之间的几组数据如下表：
x
3 4 5 6
??求得的直线方程为y?bx?a，则b____b，a____a．（填“?”或“?”）
(二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线??2上到直
线?cos(??2.5 3 4 4.5 ???假设根据上表数据所得线性回归方程为y?bx?a，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）
y ?4)?1的距离为1的点的个数是 ．
15．（几何证明选讲选做题）如图3，圆O的弦AB、CD相交于
点P，若AC?AD?2，PB?3，则AB? ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．
16．（本小题满分12分）
已知?ABC顶点的直角坐标分别是A(3 , 5)、B(0 , 1)、C(8 , ?7)． ⑴求cosB的值；
⑵若AD?(?2 , ?5)，证明：B、C、D三点共线．
17．（本小题满分13分）
某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：
组 距 [100，102) [102，104) [104，106) [106，108) [108，110) [110，112) 合计 ⑴求上表中a、b的值； 频 数 17 18 24 a 6 3 100 频 率 0.17 0.18 0.24 b 0.06 0.03 1 ⑵估计该基地榕树树苗平均高度；
⑶基地从上述100株榕树苗中高度在[108，112)范围内的树苗中随机选出5株进行育种研究，其中在[110，112)内的有X株，求X的分布列和期望． 18．（本小题满分14分）
设数列?an?的前n项和Sn?⑴求a1的值；
⑵求数列?an?的通项公式；
n(n?1)(4n?1)，n?N*．
6
⑶证明：对一切正整数n，有
19．（本小题满分13分）
1a12?4a22???n2an25?． 4如图4，直四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面是菱形，侧面是正方形，?DAB?600，E是棱CB的延长线上一点，经过点A、C1、E的平面交棱BB1于点F，B1F?2BF．
⑴求证：平面AC1E?平面BCC1B1； ⑵求二面角E?AC1?C的平面角的余弦值．
20．（本小题满分14分）
x2y26平面直角坐标系xOy中，椭圆?：2?2?1（a?b?0）的离心率为，焦点为F1、
3abF2，直线 l：x?y?2?0经过焦点F2，并与?相交于A、B两点．
⑴求?的方程；
⑵在?上是否存在C、D两点，满足CD//AB，F1C?F1D？若存在，求直线CD的方程；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分14分）
设函数f(x)?ex(lnx?a)，e是自然对数的底数，e?2.718?，a?R为常数． ⑴若y?f(x)在x?1处的切线 l 的斜率为2e，求a的值；
⑵在⑴的条件下，证明切线 l 与曲线y?f(x)在区间(0 , )至少有1个公共点； ⑶若[ln2 , ln3]是y?f(x)的一个单调区间，求a的取值范围．
12
评分参考
一、选择题 BACD DCBB
二、填空题 ⒐(?? , ?2]?[3 , ??)或?x|x??2或x?3?（每个区间2分，在此基础上正确
用区间或集合表示1分；若混淆闭区间与开区间则扣该区间1分。）
⒑(6 , 43)（若写成(6 , ?43)或(6 , ?43)给3分，其他不给分）
⒒ 5 ⒓62 ⒔?，?（若两空一对一错，给3分） ⒕3 ⒖4 三、解答题
⒗⑴（方法一）AB?(0?3)2?(1?5)2?5，AC?13，BC?82??3分
AB2?BC2?AC252?(82)2?1322??6分（公式2分） cosB????2?AB?BC102?5?82（方法二）BA?(3 , 4)，BC?(8 , ?8)??2分
cosB?BA?BC|BA|?|BC|?3?8?4?85?82??2??6分（公式2分） 10⑵（方法一）BC?(8 , ?8)，BD?BA?AD?(1 , ?1)??9分
∵BC?8BD，∴BC、BD共线??11分
∵BC、BD有共同的始点，∴B、C、D三点共线??12分
（方法二）经过B(0 , 1)、C(8 , ?7)两点的直线BC的方程为
y?1x?0?（即x?y?1）??9分
?7?18?0设D(m , n)，由AD?(?2 , ?5)得(x?3 , y?5)?(?2 , ?5)??10分 解得D(1 , 0)??11分 ∵
⒘⑴a?100?17?18?24?6?3?32，b?⑵估计该基地榕树树苗平均高度为
0?11?0?（或1?0?1），∴(D在BC上)B、C、D三点共线??12分
?7?18?032?0.32??2分 100101?17?103?18?105?24?107?32?109?6?111?3?105.02(cm)??6分
100（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。）
⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此X的所有可能取值为0，1，2，3??7分