人口增长模型
摘要
本文主要根据某地区的人口统计数据，通过合理的假设 和严密的分析来建立模型，和估计该地区2010年的人口数量，并对其做出相应的分析。
首先，我们利用Matlab软件画出该地区1800至2000年的人口数据图，通过直观观察人口的变化规律后，我们认为该地区的人口数据呈现类似线性增长和指数增长，于是我们分别建立线性增长模型和指数增长模型，在假设人口增长率保持不变的前提下，用最小二乘法对数据进行拟合，最后得出2010年的人口预报数：线性时为283.114百万，指数时为374.789百万。
但实际上人口增长率是不断地变化着的，即人口增长率不可能是一个常数，所以我们建立的线性增长模型和指数增长模型都比较粗糙，不能描述和预测较长时间人口变化过程。而且从该地区历年的人口数据描述图可看出，从1980年开始，该地区的人口增长明显变慢，即人口增长受到一定的阻滞，所以为了更好地符合实际情况，以及更好地预报出长期的人口数，我们再建立了阻滞增长模型，利用此模型我们最后求出2010年的人口预报数为295.368百万。
关键字
人口预报，线性增长模型，指数增长模型，阻滞增长模型（Logistic模型）
问题重述
根据某地区人口从1800年到2000年的人口数据（如下表），建立模型估计出该地区2010年的人口 （单位：百万），同时画出拟合效果的图形。
表1 该地区人口统计数据 年 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 份 人 7.2 13.8 17.2 17.6 24.7 33.6 36.2 口 年 1870 1880 1890 1900 1910 1920 1930 份 人 48.6 58.1 73.3 89.8 105.6 125.9 149.1 口 年 1940 1950 1960 1970 1980 1990 2000 份 人 172.2 189.8 230.5 246.7 262.1 271.2 280.3 口
模型假设
1、该地区历年的人口统计记录数据准确无误；
2、在模型一、二中，假设人口增长率不变，是一个常数，即单位时间内人口的增长量与当时的人口量成正比。；
符号说明
x(t) t时刻的人口数量
x0 初始时刻的人口数量
r 人口增长率
xm 环境所能容纳的最大人口数量，即r(xm)?0
模型分析
首先，我们运用Matlab软件编程（见附件1），把1800年到2000年的人口
数据通过绘图描点如下图
图1 1800年到2000年的人口数据图
从图我们可以看出1800年到2000年的人口数是呈现增长的趋势的，而且图像呈现类似线性函数和指数函数，于是我们猜测人口增长随时间的变化规律为线性函数或指数函数，所以我们分别用两种函数建立线性增长模型和指数增长模型，用最小二乘法对数据进行拟合，确定其中的未知参数。
然而上述两种模型都是在假设人口增长率不变的前提下建立的，比较粗糙，但在现实生活中，我们知道人口增长率是不可能不固定不变的，也就是人口不可能无限增长，无限增长将会导致人口爆炸，而政府对这种情形不可能置之不理的，
也就是说政府对人口无限增长会采取相应的措施，所以但人口增长到一定的程度下，人口增长率将会随人口的增长而呈线性递减，而且考虑到自然资源、环境条件等因素都会对人口增长起阻滞作用，并且随着人口增加，阻滞作用越来越大。因此，我们改进了模型，建立了阻滞增长模型。
模型建立
模型一：线性增长模型
首先，我们假设满足线性关系 x(t)?at?b ，根据最小二乘法，a和b是以下函数的最小值：
E(a,b)?n?(ati?b?xi)2，其中xi是ti时刻该地区的人口数。
i?1即有
E?(a,b)?(a.1800?b?7.2)2?(a.1810?b?13.8)2?...?(a.2000?b?280.3)2
?E?E?0,?0，可解得a和b。 ?a?b我们用Matlab编程（见附件2），解得a=1.5，b=-2755.3
令
故 x(t)?1.5t?2755.3
然后用该方程对1800年到2000年的人口数据进行拟合，拟合的效果图如下：
从上图可以看出拟合的效果不是很好，模型比较粗糙，所以我们有必要建立其他的模型进行预测。但对于后期的人口拟合得还是可以的，用这线性增长模型
预报出x(2010)?1.5*2010?2755.3?283.1148百万。 模型二：指数增长模型
由于今年人口为x0，k年后人口为xk，年增长率为r，则有xk?x0(1?r)k。 则在t到t+?t时间内的人口增量为 x(t??t)?x(t)?rx(t)?t 上式两边同时除以?t得：
x(t??t)?x(t)?rx(t)
?t令?t?0，取极限得到x(t)满足的微分方程为
dx?rx(t) dt于是我们得到一个指数增长的人口模型为
?dx??rx(t) ?dt??x(0)?x0解这个方程得到
x(t)?x0ert （2）
然后，我们利用数据拟合（程序见附件3），效果
图3 指数增长模型的拟合图
注：*号为准确值，曲线为计算结果
从图3可以看出，拟合效果还好，但到了后期时段时，该地区人口增长明显变慢，这个明显就不适合了，拟合效果就不那么好了，说明该地区的人口增长率时随着人口的增长而递减的，有一定的阻滞使人口增长得不如前那么快，此模型还是有点粗糙，所以我们要对模型进行进一步的改进。
用该地区的数据拟合（2）式，可解得r =5.94e-007 年，x0=1e-006，然后
)?374.789百万。 把它们代进模型，我们可算得x(2010
结果分析
用此模型基本是上能够描述1980年以前的人口增长，但我们从指数增长模型的拟合图可以看出，此模型对1980年以后的数据就拟合得不是很好，从1980年后，该地区的人口增长明显变慢，所以用此模型对2010年的人口进行预报不是那么适合，结果存在一定的误差，从图3可以看出所得的结果并不准确，精度不高。
模型三：阻滞增长模型
随着人口的增加，人口的增长速度会降低，所以我们假设人口数的减函数为
r(x)?r-sx
人口数量最终会达到饱和，且趋于一个常数xm，当x?xm时，增长率为0， 即有 r?sxm?0 由上面的关系式可得出：
?x?r(x)?r?1??x?? （3）
m??把(3)式代进指数增长模型的微分方程中可以得到：
?dx?x????r1?x????dt?xm? ?x(0)?x0?解得 x(t)?xm?xm??rt?1???1?x?e?0? （4）
把x(1800)?7.2代进(4)式得 x(t)?xm?10xm?1???1?e?r(t?1800)?132?