23.4 二次函数与一元二次方程
教学目标：
掌握二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴的交点个数与一元二次方程ax+bx+c=0的
解的情况之间的关系
K]22
重点、难点：
二次函数y=ax+bx+c的图象与一元二次方程ax+bx+c=0的根之间关系的探索。
教学过程： 一、情境创设
一次函数y=x+2的图象与x轴的交点坐标 问题1.任意一次函数的图象与x轴有几个交点？
问题2.猜想二次函数图象与x轴可能会有几个交点？可以借助什么来研究？
二、探索活动
活动一 观察
在直角坐标系中任意取三点A、B、C，测出它们的纵坐标，分别记作a、b、c，以a、
b、c为系数绘制二次函数y=ax+bx+c的图象，观察它与x轴交点数量的情况；任意改变a、b、c值后，观察交点数量变化情况。
活动二 观察与探索
如图1，观察二次函数y=x-x-6的图象，回答问题
(1)图象与x轴的交点的坐标为A ( ， ),B( ， ) (2)当x= 时，函数值y=0。 (3)求方程x-x-6=0的解。
(4)方程x-x-6=0的解和交点坐标有何关系？
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y864y?x? = x2-x-6B32A-2O-2-4510x-6-8 活动三 猜想和归纳
(1)你能说出函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点个数的其它情况吗？猜想交点个数
和方程ax+bx+c=0的根的个数有何关系。
（2）一元二次方程ax+bx+c=0的根的个数由什么来判断？
这样我们可以把二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交点、一元二次方程ax+bx+c=0
的实数根和根的判别式三者联系起来。
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二次函数y=ax2+bx+c方程ax2+bx+c=0图象与x轴公共点个数 根的情况根的判别式
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三、例题分析
例1.不画图象，判断下列函数与x轴交点情况。 (1) y=x-10x+25 (2) y=3x-4x+2 (3) y=-2x+3x-1
例2.已知二次函数y=mx+x-1
(1)当m为何值时，图象与x轴有两个交点 (2)当m为何值时，图象与x轴有一个交点？ (3)当m为何值时，图象与x轴无交点？
四、拓展练习
1. 如图2，二次函数y=ax+bx+c的图象与x轴交于A、B。 (1)请写出方程ax+bx+c=0的根
(2)列举一个二次函数，使其图象与x轴交于(1,0)和(4,0)，且适合这个图象。
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2. 列举一个二次函数，使其图象开口向上，且与x轴交于(-2,0)和(1,0)
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-6-8五、小结
这节课我们有哪些收获？ 六、作业
求证：二次函数y= x+ax+a-2的图象与x轴一定有两个不同的交点。
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