不等式证明的基本方法·例题
例5-2-7 已知a，b，c∈R+，证明不等式：
当且仅当a=b=c时取等号。
解 用综合法。因a＞0，b＞0，c＞0，故有
三式分边相加，得
当且仅当a=b=c时取等号。
例5-2-8 设t＞0。证明：对任意自然数n，不等式 tn-nt+(n-1)≥0
都成立，并说明在什么条件下等号成立。 解 当n=1时，不等式显然成立，且取等号。
当n≥2时，由幂分拆不等式，可得以下n-1个不等式： t2+1≥t+t，t3+1≥t2+t，?， tn-1+1≥tn-2+t，tn+1≥tn-1+t
以上各式当且仅当t=1时取等号。把它们分边相加，得
故对任意n∈N，不等式获证。等号成立的条件是n=1，或t=1。
注 ①在以上不等中令t=1+x(x＞-1)，即得著名的贝努利不等式(1+x)n≥1+nx
例5-2-9 设a，b，c都是正数，证明不等式
当且仅当a=b=c时取等号。
分析 本例有多种精彩证法。根据对称性，可从左边一项、两项入手，当然也可根据平均值不等式或幂分拆不等式从整体入手。
解 [法一] 从一项入手，适当配凑后由平均值不等式知
三式分边相加，即得
时，上式取等号。
[法二] 从两入手，利用幂分拆不等式，有
同理有
三式分边相加，得
[法三] 从整理入手，原不等式等价于
进一步证明参考习题5-2-7(1)解答。
[法四] 由平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，y，∈R+)的变式
三式分边相加，得
所以
注 从证法4我们看到，利用平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，
式不等式，思路自然，简捷明快，颇具特色。
例5-2-10 已知关于x的实系数方程x2+px+q=0有两个实数根α，β。证明：若|α|＜2，|β|＜2，则|q|＜4，且2|p|＞4+q。
解 先证|q|＜4，由韦达定理知 |q|=|αβ|=|α|·|β|＜2×2=4 再证2|p|＞4+q。
欲证不等式即0≤2|α+β|＜4+αβ。故只须证 4(α+β)2＜(4+αβ)2
即 4α+8αβ+4β2＜16+8αβ+α2β2 从而只须证
16-4α2-4β2+α2β2＞0
即 (4-α2)(4-β2)＞0
由|α|＜2，|β|＜2，知α2＜4，β2＜4，故最后不等式成立，从而原不等式得证。
例5-2-11 证明：若a，b，c是三角形的三边，则 3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca) 当且仅当三角形为正三角形时，左边取等号。 解 左边不等式等价于
3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) 欲证此不等式成立，只须证 ab+bc+ca≤a2+b2+c2 即证
2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0 左边配方即为
(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0
此不等式显然成立，当且仅当a=b=c，即三角形为正三角形时取等号。故左边不等式获证。
欲证右边不等式，仿上只须证 a2+b2+c2＜2(ab+bc+ca) 从而只须证
(ab+ac-a2)+(ab+bc-b2)+(bc+ca-c2)＞0 即证
a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)＞0
由于a，b，c是三角形的三边，此不等式显然成立，故右边不等式获证。 综上所述，原不等式得证。
例5-2-12 设f(x)=x2+px+q(p，q∈R)，证明：
(2)若|p|+|q|＜1，则f(x)=0的两个根的绝对值都小于1。 解 用反证法
但是，
|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)-2f(2)+f(3)
=(1+p+q)-2×
(4+2p+q)+(9+3p+q)=2 (ii)
(i)与(ii)矛盾，故假设不成立，即原命题成立。
(2)假设f(x)=0的两根x1，x2的绝对值不都小于1，不妨设|x1|≥1，那么由韦达定理，有
|p|=|-(x1+x2)|=|x1+x2|≥|x1|-|x2|≥1-|x2| |q|=|x1x2|=|x1|·|x2|≥|x2| 两式分边相加，得 |p|+|q|≥1
这与题设矛盾，故假设不成立，即原命题得证。
注 反证法的逻辑程序是：否定结论→推出矛盾→肯定结论。反证法常用于直接证明难于入手的命题，或结论中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之类的存在性命题。