例5-2-12 设f(x)=x2+px+q(p，q∈R)，证明：
(2)若|p|+|q|＜1，则f(x)=0的两个根的绝对值都小于1。 解 用反证法
但是，
|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)-2f(2)+f(3)
=(1+p+q)-2×
(4+2p+q)+(9+3p+q)=2 (ii)
(i)与(ii)矛盾，故假设不成立，即原命题成立。
(2)假设f(x)=0的两根x1，x2的绝对值不都小于1，不妨设|x1|≥1，那么由韦达定理，有
|p|=|-(x1+x2)|=|x1+x2|≥|x1|-|x2|≥1-|x2| |q|=|x1x2|=|x1|·|x2|≥|x2| 两式分边相加，得 |p|+|q|≥1
这与题设矛盾，故假设不成立，即原命题得证。
注 反证法的逻辑程序是：否定结论→推出矛盾→肯定结论。反证法常用于直接证明难于入手的命题，或结论中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之类的存在性命题。