∴2b﹣a=0，即a=2b． 点评： 此题考查了分式的混合运算，解二元一次方程组，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 27．（12分）（2014?扬州）某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．“中国梦想秀”栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务（所有债务均不计利息）．已知该店代理的品牌服装的进价为每件40元，该品牌服装日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的关系可用图中的一条折线（实线）来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元（不包含债务）．
（1）求日销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系式；
（2）若该店暂不考虑偿还债务，当某天的销售价为48元/件时，当天正好收支平衡（收人=支出），求该店员工的人数；
（3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为多少元？
考点： 二次函数的应用；一次函数的应用． 分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据收入等于指出，可得一元一次方程，根据解一元一次方程，可得答案； （3）分类讨论40≤x≤58，或58≤x≤71，根据收入减去支出大于或等于债务，可得不等式，根据解不等式，可得答案． 解答： 解：（1）当40≤x≤58时，设y与x的函数解析式为y=k1x+b1，由图象可得 ， 解得∴y=2x+140． ． 当58＜x≤71时，设y与x的函数解析式为y=k2x+b2，由图象得 ， 解得∴y=﹣x+82，
， 16
综上所述：y=； （2）设人数为a，当x=48时，y=﹣2×48+140=44， ∴（48﹣40）×44=106+82a， 解得a=3； （3）设需要b天，该店还清所有债务，则： b[（x﹣40）?y﹣82×2﹣106]≥68400， ∴b≥， 当40≤x≤58时，∴b≥2=， x=﹣∴b时，﹣2x+220x﹣5870的最大值为180， ，即b≥380； 当58＜x≤71时，b2=， 当x=﹣∴b=61时，﹣x+122x﹣3550的最大值为171， ，即b≥400． 综合两种情形得b≥380，即该店最早需要380天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定为55元． 点评： 本题考查了二次函数的应用，利用待定系数法求函数解析式，一次方程的应用，不等式的应用，分类讨论是解题关键． 28．（12分）（2014?扬州）已知矩形ABCD的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．
（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA． ①求证：△OCP∽△PDA； ②若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；
17
（2）若图1中的点P恰好是CD边的中点，求∠OAB的度数； （3）如图2，
，擦去折痕AO、线段OP，连结BP．动点M在线段
AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度． 考点： 相似形综合题；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；特殊角的三角函数值． 专题： 综合题；动点型；探究型． 分析： （1）只需证明两对对应角分别相等即可证到两个三角形相似，然后根据相似三角形的性质求出PC长以及AP与OP的关系，然后在Rt△PCO中运用勾股定理求出OP长，从而求出AB长． （2）由DP=DC=AB=AP及∠D=90°，利用三角函数即可求出∠DAP的度数，进而求出∠OAB的度数． （3）由边相等常常联想到全等，但BN与PM所在的三角形并不全等，且这两条线段的位置很不协调，可通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF是PB的一半，只需求出PB长就可以求出EF长． 解答： 解：（1）如图1， ①∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC，DC=AB，∠DAB=∠B=∠C=∠D=90°． 由折叠可得：AP=AB，PO=BO，∠PAO=∠BAO．∠APO=∠B． ∴∠APO=90°． ∴∠APD=90°﹣∠CPO=∠POC． ∵∠D=∠C，∠APD=∠POC． ∴△OCP∽△PDA． ②∵△OCP与△PDA的面积比为1：4， ∴====． ∴PD=2OC，PA=2OP，DA=2CP． ∵AD=8，∴CP=4，BC=8． 设OP=x，则OB=x，CO=8﹣x． 在Rt△PCO中， ∵∠C=90°，CP=4，OP=x，CO=8﹣x， ∴x=（8﹣x）+4． 解得：x=5． ∴AB=AP=2OP=10． ∴边AB的长为10． （2）如图1， ∵P是CD边的中点， ∴DP=DC． ∵DC=AB，AB=AP，
18
222∴DP=AP． ∵∠D=90°， ∴sin∠DAP==． ∴∠DAP=30°． ∵∠DAB=90°，∠PAO=∠BAO，∠DAP=30°， ∴∠OAB=30°． ∴∠OAB的度数为30°． （3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图2． ∵AP=AB，MQ∥AN， ∴∠APB=∠ABP，∠ABP=∠MQP． ∴∠APB=∠MQP． ∴MP=MQ． ∵MP=MQ，ME⊥PQ， ∴PE=EQ=PQ． ∵BN=PM，MP=MQ， ∴BN=QM． ∵MQ∥AN， ∴∠QMF=∠BNF． 在△MFQ和△NFB中， ． ∴△MFQ≌△NFB． ∴QF=BF． ∴QF=QB． ∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB． 由（1）中的结论可得： PC=4，BC=8，∠C=90°． ∴PB=∴EF=PB=2=4． ． ． ∴在（1）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，长度为2 19
点评： 本题是一道运动变化类的题目，考查了相似三角形的性质和判定、全等三角形的性质和判定、矩形的性质、等腰三角形的性质和判定、勾股定理、特殊角的三角函数值等知识，综合性比较强，而添加适当的辅助线是解决最后一个问题的关键． 20
21