. limsinx1x?？， lim(1?)?？ x?0x??xxsinx?1 x?0xsinx?1。 下面将证明第一个重要极限：limx?0x1. 第一个重要极限：lim说明： （1）此极限中的x一定要用弧度作单位。 （2）应用时要保证极限中的x?0、sinx和分母x三者中的x形式一致 （3）对于此极限要求掌握它的结构特点和应用，它的证明只是了解 任务2：求下列极限 2.重要极限1 csinx令t?arcsinxt1?lim?lim?1。 【例1】limx?0t?0sintt?0sintxtsinxsin(??x)sint?lim?lim??1。 x??x??x??t???xt?0x???ttan3xsin3x1?lim3???3?1?1?3。 【例3】limx?0x?0x3xcosxxx2sin2()sin1?cosx2?1?lim(2)2?1。 【例4】lim?limx?0x?02x?0x2x2x22【例2】lim 第二个重要极限：lim(1?x??1x)?e x即lim(1?x??1n)?e?2.718281828459045?? n 注意： 3.重1n 1：我们可证明：lim(1?x)x?lim(1?)?e， x??n??要极n限2 x 2：指数函数y?e及自然对数y?lnx中的底就是这个常数e。 3. 对于此极限要求掌握它的结构特点和应用。 1lim 1000 (1 ? 任务1的解决：? ? n 0 . 05 n ) n =1051.27
结论： 计算结果说明随着结算次数的无限增加，一年后该储户在银行的存钱不会无限变大，该储户一年本息和最多不超过1052美元。 通过实验结果可以知道，只要年利率一定，不管银行采取多么小时间间隔的付息方式，都不会导致付息的无限增多的结果 任务2：求下列极限 2x11222 【例1】 lim(1?)?lim[(1?)2]?[lim(1?)2]?e x??x??x??xxx22【例2】 lim(1?x)x?011z?xxxx?lim(1?z)z?e z?? 【例3】11?x?111?x?111lim(1?)x?1?lim[(1?)](1?)?[lim(1?)]?lim(1?)?e?1?1?x??x??x??x??x?xx?xxe【例4】 2n?1n2nlim()?lim(1?)?lim(1?x??2n?1x??x??2n?111n?2)n?12?(1?11n?2)?121?1??12? ee11. 求下列极限： （强调函数的恒等变换及变量替换） （1） limtanx； x?0x（2） lim1?cosx； 2x?0xsin5x； x?03x（3） lim4.练习 （4） limsin3x?sinx。 x?0x 2. 求下列极限：（强调与其它方法的综合运用） x?1?2lim （1） ?1??； x?x??? （2） limx?0?1?x?2x；
（3） limx?0ln(1?x) ； xex?1 （4） lim； x?0x （5） limx?0?1?2x?1x 。 5.知识小结 6.作业 1. 掌握两个重要极限 2. 两个重要极限计算函数极限的方法 习题2：6，7，8
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课题 授课班级 函数的连续性 略 上课时间 2学时 课型 理论课 教学目标 知识目标：理解函数在一点连续的概念， 能力目标：能用连续的定义描述电流等专业现象的特征 情感目标：通过实际案例引导学生将数学思想融入实际生活中 任务：会判断函数在一点是否连续 多媒体教学，案例驱动，提问，启发，探讨。 《高等数学》，侯风波主编，高等教育出版社，2005. 教学过程设计 任务描述 教学方法 教学参考资料 教学环节 1案例分析导入课题 2 函数在一点连续的概念 教学内容 连续性是函数的重要性态之一。他不仅是函数研究的重要内容，也为计算极限开辟了新途径。本节将运用极限概念对它加以描述和研究， 案例1某日气温变化 案例2小孩个子的长高 定义１ 设函数f(x)在点x0的某个邻域内有定义，若当自变量的增量?x?x?x0趋于零时，对应的函数增量也趋于零，即 lim?y?lim?f(x0??x)?f(x0)??0， ?x?0?x?0
则称函数f(x)在点x0处连续，或称x00是f(x)的一个连续点． limf(x)?f(x0)，则称函数f(x)在点定义２ 若x?xx0处连续． f(x)?f(x0)，则称函数f(x)在点② 左右连续的概念 若xlim?x?0x0处左连续；f(x)?f(x0)，则称函数f(x)在点x0处右连续． 若xlim?x?0⑵ 函数在一点连续的充分必要条件 函数f(x)在点x0处连续的充分必要条件是f(x)在点x0处既左连续又右连续． 由此可知，函数f(x)在点x0处连续，必须同时满足以下三个条件： ① 函数f(x)在点x0的某邻域内有定义， ② limf(x)存在， x?x0③ 这个极限等于函数值f(x0)． ⑶ 函数在区间上连续的概念 在区间上每一点都连续的函数，称为在该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连 续，该区间也称为函数的连续区间．如果连续区间包括端点，那么函数在右端点连续是指左连续，在左端点连续是指右连续． 说明： （1） 点连续性的两个定义本质相同，只是叙述的角度不同。 （2） 函数在某点连续必须同时满足三个条件：① 函数在该点的某个邻域内有定义；② 函数在该点的极限存在； ③ 极限值等于该点的函数值． （3）用“点连续性的两个定义”可证明初等函数的点连续性；用“左连续和右连续” 可证明分段函数在其分段点处的连续性。 例1 讨论函数f(x)?x2?2在x?2处的连续性． 2解 limf(x)?limx?2?6，而f(2)?6，即limf(x)?f(2)．因此，函x?2x?2x?2??数f(x)?x2?2在x?2处连续． ??1?cosx,x?,??2例2. 讨论函数f(x)??在点x?的连续性． ?2?sinx,x?.2??解 这是一个分段函数在分段点处的连续性问题．由于f(x)在点x?的左、右2?两侧表达式不同，所以先讨论函数f(x)在点x?的左、右连续性． 2因为 lim?f(x)?lim??1?cosx??1?cosx???2x??2????1?f??， 2?2?
lim?f(x)?lim?sinx?sinx???2x??2????1?f??， 2?2?所以f(x)在点x? ?2左、右连续，因此f(x)在点x??2连续． 3??f(x)?limx?1??1例3.由上图可看出：lim，limf(x)?limx?0． ??x?0x?0x?0?x?0?虽然当x?0时的左、右极限都存在，但当x?0时，函数f(x)并不趋近于某一个确定的常数，因而当x?0时f(x)的极限不存在，故函数f(x)在点x?0不连续． 讨论函数f(x)???x?1,x?0,在点x?0的连续性． 3?x,x?0.解 作出它的图象（如下图所示）， y 3.练习 -1 O 1 x -1 -2 4.课堂小结 1.函数的点连续性、区间连续性定义及判定条件； 5.作业 习题2：10 （1） （2）
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