重庆市西南师大附中2019届高三5月模拟考试（数学理）
2018年5月
本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．共150分，考试时间120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考号、考试科目填涂在答题卡上．
2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上． 3．考试结束，监考人员将答题卡收回． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分）各题答案必须答在答题卡上． 1．已知复数z满足(3?3i)z?3i，则z＝（ ）
33i A．?2233i B．?4433i C．?2233i D．?442．定义在R上的奇函数f(x)满足f(x?2)?f(x)?1，则f(1)?（ ）
1C．?
23．等差数列{an}中，a5 + a7 =16，a3 = 4，则a9 =（ ）
A．0
B．1
A．8
B．12
C．24
1D． 2D．25
4．若?、??(，?)，且tan??cot?，那么必有（ ）
233A．????? B．????? C．???
22?D．???
5． 若向量a，b满足|a|?2，|b|?2，(a?b)?a，则向量a与b的夹角等于（ ）
??3?5?A． B． C． D．
464644?8x6．已知函数y1?x?(x?0),y2?cosx?(0?x?),y3?2(x?0)
xcosx2x?11?y4?(1?cotx)(?2tanx)(0?x?)，其中以4为最小值的函数个数是（ ）
22A．0 7．lim(B．1
C．2
D．3
1232n?12n??????)的值为（ ）
n??n?1n?1n?1n?1n?11A．– 1 B．0 C．
2D．1
8． 下图是正态分布N∽(0，1)的正态分布曲线图，下面4个式子中，能表示图中阴影部分
y 面积的有（ ）个
①1??(?a) ②?(?a)
21③?(a)?1 ④[?(a)??(?a)]
22A．1
B．2
C．3 -a O D．4 x
9． 已知三棱锥A—BCD中，?BCD?90?，BC = CD = 1，AB⊥面BCD，?ADB?60?，点
E、F分别在AC、AD上，使面BEF⊥ACD，且EF∥CD，则平面BEF与平面BCD所成的二
面角的正弦值为（ ）
6721 B． C． D． 674310．函数f(x)定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数②存在[a，b]?D使f(x)在
A．ab[a，b]上的值域为[，]，那么就称y?f(x)为“成功函数”，若函数
22x，则t的取值范围为（ ） f(x)?lo?t (a > 0，a?1)是“成功函数”aga(A．?0，???
1B．(??，)
41C．(0，]
41D．(0，)
4第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分）各题答案必须填写在答题卡上（只
填结果，不要过程） 11．在(x?)的展开式中，常数项为15，则n的值为______________．
21xncos??sin?2?112．已知tan(???)?，的值为_____________． tan(??)?，则
cos??sin?54413．某旅馆有1个三人间、2个两人间可用，有三个成人带两个小孩来投宿，小孩不宜单住
一间(必须有成人陪同)，且不要求房里都住有人，则不同的安排住宿方法有_________种．
?3a?2b?1?0?14．设实数a、b满足?3a?2b?4?0，则9a2?4b2的最大值是___________．
?a?1?x2y215．如图，已知椭圆2?2?1(a?b?0)的左、右准线分别为l1、l2，且
ab分别交x轴于C、D两点，从l1上一点A发出一条光线经过椭圆的左焦点F被x轴反射后与l2交于点B，若AF?BF，且?ABD?75?，则椭圆的离心率等于_____________．
三、解答题：（本大题6个小题，共75分）各题解答必须答在答题卡上（必须写出必要的文
字说明、演算步骤或推理过程） 16．(本小题满分13分)
已知函数g(x)?313?1?sinxcosx?sin2x的图象按向量m?(?，)平移得到函数 42242f(x)?acos2(x?)?b的图象． 3(1) 求实数a、b的值；
(2) 设函数?(x)?g(x)?3f(x)，x?[0，]，求函数?(x)的单调递增区间和最值．
2??
17． (本小题满分13分)
某商场准备在国庆节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品进行促销活动． (1) 试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；
(2) 商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格
提高150元，同时，若顾客购买该商品，则允许有3次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为m的奖金.假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是
1，请问:2商场应将每次中奖奖金数额m最高定为多少元，才能使促销方案对商场有利？
18．(本小题满分13分)
已知函数f(x)的导数f'(x)?3x2?3ax，f(0)?b．a，b为实数，1?a?2． 1]上的最小值、最大值分别为?2、1，求a、b的值； (1) 若f(x)在区间[?1，(2) 在 (1) 的条件下，求曲线在点P（2，1）处的切线方程；
(3) 设函数F(x)?[f'(x)?6x?1]e2x，试判断函数F(x)的极值点个数． 19． (本小题满分12分)
如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，已知AB = 3，AD = 2，PA = 2，PD?22，?PAB?60?．
(1) 证明：AD⊥平面PAB；
(2) 求异面直线PC与AD所成的角的大小； (3) 求二面角P—BD—A的大小．
20． (本小题满分12分)
x2y2设F是椭圆C：2?2?1(a?b?0)的左焦点，直线l为其左准线，直线l与x轴交
ab于点P，线段MN为椭圆的长轴，已知|MN|?8，且|PM|?2|MF|． (1) 求椭圆C的标准方程；
(2) 若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A、B求证：∠AFM =∠BFN； (3) 求三角形ABF面积的最大值．
21．(本小题满分12分)
古代印度婆罗门教寺庙内的僧侣们曾经玩过一种被称为“河内宝塔问题”的游戏，其玩法如下：如图，设有n（n?N*）个圆盘依其半径大小，大的在下，小的在上套在A柱上，现要将套在A柱上的盘换到C柱上，要求每次只能搬动一个，而且任何时候不允许将大盘套在小盘上面，假定有三根柱子A、B、C可供使用．
现用an表示将n个圆盘全部从A柱上移到C柱上所至少需要移动的次数，回答下列问题：
(1) 写出a1，a2，a3，并求出an； (2) 记bn?an?1，求和Sn?（其中(3) 证明：
1?i?j?n?； bbij（i，j?N*）
1?i?j?n?bibj表示所有的积bbij(1?i?j?n)的和）
?S1S3S2n?14?(n?N*)．
S2S4S2n211S1S1S3???7S2S2S4
数学试题参考答案 (理)
2018年5月
一、选择题：（本大题10个小题，每小题5分，共50分） 1．D
2．C
3．B
4．B
5．A
6．A
7．A
8．C
9．B
10．D
二、填空题：（本大题5个小题，每小题5分，共25分） 11．6 12．
36?2 13．60 14．25 15．
222三、解答题：（本大题6个小题，共75分） 16．解：(1) 依题意按向量0平移g(x)得
f(x)－1＝1sin［2(x＋?)＋2?］ 得f(x)＝－1sin(2x＋?)＋1
22436222又f(x)＝acos(x＋?)＋b＝－asin(2x＋?)＋a＋b 3262比较得a＝1，b＝0 ······················· 6分
(2)?(x)＝g(x)－3f(x)＝1sin(2x＋2?)－3cos(2x＋2?)－3＝sin(2x33222＋?)－3 32?∴?(x)的单调增区间为[0,]， 值域为[?3,1] ············ 13分
6317．解：(1) 从2种服装商品，2种家电商品，3种日用商品中，选出3种商品一共有C7种
3选法，选出的3种商品中没有日用商品的选法有C4种， 所以选出的3种商品
中至少有一种日用商品的概率为P?1?C4?31. ··········· 4分
335C7(2) 顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一随机变量，
设为X，其所有可能值为0，m，2m，3m ············· 6分 X=0时表示顾客在三次抽奖中都没有获奖， 1??1?1所以P?X?0??C???????, ·················· 7分
8?2??2?030331??1?3同理可得P?X?m??C???????, ··············· 8分
8?2??2?21?1?3 ··················· 9分 2?1?P?X?2m??C3??????,?2??2?813121?1??1?10分 P?X?3m??C??????. ··················· 8?2??2?于是顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额的期望值是
33301331EX?0??m??2m??3m??1.5m ············ 12分
8888要使促销方案对商场有利，应使顾客获奖奖金总额的期望值不大于商场的提价数额，因此应有1.5m?150，所以m?100， ··········· 13分 故商场应将中奖奖金数额最高定为100元，才能使促销方案对商场有利. · 14分