第二章物资调运方案的优化2-单纯形法
2.4-2.5线性方程组的学习要求
1. 了解n元非齐次（齐次）线性方程组的概念，会用矩阵形式表示n元线性方程组；理解增广矩阵的定义。掌握解线性方程组的初等行变换法。 解线性方程组是本章的重点内容。
2. 记住MATLAB软件中解线性方程组有关的命令函数。 3. 了解线性规划模型的标准形式，会用矩阵形式表示线性规划。 4. 熟练掌握解线性规划的单纯形法。
线性规划的单纯形法是本章的重点内容。线性规划模型的建立与单纯形法通常以综合题的形式出现。
5. 记住MATLAB软件中解线性规划的命令函数。
第十四讲 线性方程组的矩阵表示形式 线性方程组的一般表示
?a11x1?a12x2????a1nxn?b1?ax?ax????ax?b?2112222nn2??????ax?am2x2????amnxn?bm ?m11
方程数目为m，未知量个数为n.
下面举一个例子
例: 用矩阵形式表示方程组
?3x1?4x2?x3?4??5x1?6x2?x3??1
解: 将未知量的系数和常数项按原来的位置写成矩阵
?3?414?A???56?1?1??，n＝3，m＝2
?3?41?A???56?1?? 系数矩阵
?x1??X??x2????x3?? 未知矩阵
?4?b?????1? 常数矩阵
线性方程组用矩阵表示为 AX?b
?3?41??56?1??即 ??x1??x??2???4?????x3????1?
线性方程组三种表示形式
?3?414?A???56?1?1??
AX?b
?4x1?5x2?x3?1??x?5x?x?2?123??x3?0?x1?5x?x2?3x3?4 ?1
改写成矩阵的形式. 解: 增广矩阵
??4?5?11?A???1512???1010?? ?5?134??
??4?5?1??1?A???151???101???b??2??0??系数矩阵 ?5?13??? 常数矩阵
?4?? 线性方程组的矩阵表示为
??4?5?1??1???151????x??2??1????101???x2??0?
?5?13???x3????＝?4?
?12013?A???211?1?1?
?05??010?? 表示一个线性方程组的增广矩阵，讨论这个线性方程组：（1）有几个未知量？（有几个方程？（3）最后一行代表的方程是什么？
解:（1）根据增广矩阵的概念，可知最后一列是常数项，前4列 是未知量的系数，故这个方程组有4个未知量. （2）由增广矩阵的构成可知，增广矩阵的行数就是方程的 个数，故有3个方程. （3）最后一行代表的方程是0x1?x2?0x3?0x4?5
即 x2?5
?12013?A???211?1?1?
?01005???? 2）表示一个线性方程组的增广矩阵，讨论这个线性方程组：（1）有几个未知量？（2）有几个方程？（3）最后一行代表的方程是什么？
解:（1）根据增广矩阵的概念，可知最后一列是常数项，前4列 是未知量的系数，故这个方程组有4个未知量. （2）由增广矩阵的构成可知，增广矩阵的行数就是方程的 个数，故有3个方程. （3）最后一行代表的方程是 即 x2?5
0x1?x2?0x3?0x4?5
例3 线性方程组 AX?b
矩阵A是4×6矩阵，矩阵b是4×1矩阵，问这个方程组有几个未知量？有几个方程？ 解: 有6个未知量，有4个方程.
第十五讲 用初等行变换解线性方程组
若一个线性方程组的增广矩阵为
?21?11??A??0112????002?2??
求方程组的解.
解: 从最后一行开始，得
2x3??2
x3??1
第二行表示的方程是
x2?x3?2
x2?2?x3?2?(?1)?3
第一行表示的方程是
2x1?x2?x3?1
x1?13(1?x2?x3)??22
方程组的解为
3?x???12??x2?3?x??1?3 ?
归纳
当线性方程组的增广矩阵为阶梯形矩阵时，可以从最后一行开始，用逐步回代的方法求得线性方程组的解.
比较增广矩阵与线性方程组作初等行变换的关系
增广矩阵 互换两行的位置 用一非0常数乘某行 将一行的倍数加至另一行上 线性方程组 互换两个方程 用一非0常数乘某个方程 将一个方程乘以一个常数，加到另一个方程上 结论 对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换，不改变线性方程组的解. 消元法
·用初等行变换把线性方程组的增广矩阵化成阶梯形矩阵； ·从阶梯形矩阵的最后一行开始，用逐步回代的方法求解. 这种解线性方程组的方法就叫消元法.