例1 解线性方程组
?2x1?5x2?3x3?2x4?3??3x?x?2x?x??4?1234???2x1?3x2?4x3?7x4??13??x1?2x2?4x3?x4?4
解: 增广矩阵
53?23??2??3?12?1?4?A????23?4?7?13???12414??
2414??1?1??3?12??01?4???????23?4?7?13??0???253?23?? ?0?1?0???0??0
2414?1?5?4?5??0392330??0392433?
2414?51448??74?5?5??1?5?4?5?
它所对应的方程组就是
?x1?2x2?4x3?x4?4?x2?5x3?4x4??5??39x3?23x4?30??x4?3 ?
这种形式的方程组称为阶梯形方程组.用回代的方法求出方程组的解为
?x1?1?x?2?2??x3??1?x?3 ?4
例2 解线性方程组
??x1?x2?x3?1?x1?2x2?2x3?4??2x1?x2?3x3?6
解 增广矩阵为
?1?111?A???1224??1?111??1?1??0313???03????2136???314????0???00因为最后一行表示的方程是
0x1?0x2?0x3?1
所以原方程组无解.
例3 解线性方程组
??x1?x2?x3?x4?1?x1?x2?2x3?2x?4?2?2x1?x3?3x4?3
解 将增广矩阵化成阶梯形矩阵
?11?111?A???1?1222??11?111???0?2311??0133?????2???0?2311?? ??11?111??0?2311???00000? ??第二行表示的方程是
?2x2?3x3?x4?1
x2??1312?2x3?2x4
11?13?01??? 第一行表示的方程是
x1?x2?x3?x4?1 x1?1?x2?x3?x4?313?x3?x4222
313?x??x?x413??222原方程组的解为?
?x??1?3x?1x234??222等号右边的未知量
x3,x4称为自由未知量，用一组自由未知量表示其它解的形式称为
线性方程组的一般解，含有自由未知量的线性方程组有无穷多解. 将阶梯形矩阵继续化简，化成行简化阶梯形矩阵：
?11?111??A??0?2311???000??00?
?1?102?3??01??2???000321?203??2?1??2???0?
定义 阶梯形矩阵如果具有下列特点，则称为行简化阶梯形矩阵：（1） 每行的首非0元素都为1；
（2） 每行的首非0元素所在的列其余元素都为0. 所以上述方程组的一般解为
313?x??x?x??122324??x??1?3x?1x234?222（其中x3,x4为自由未知量） ?