4．(2011年高考安徽卷理科16) (本小题满分12分)
ex设f(x)?，其中a为正实数 21?ax（Ⅰ）当a?4时，求f(x)的极值点； 3（Ⅱ）若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围。
【命题意图】：本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调性之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力。 【解析】：
2ex(1?ax2)?2exaxxax?1?2ax f(x)??e(1?ax2)2(1?ax2)2'428x?1?x4'x3，由f'(x)?0得4x2?8x?3?0解得（1） 当a?时，f(x)?e343(1?x2)2313x1?,x2?
221313'''由f(x)?0得x?或x?，由f(x)?0得?x?，当x变化时f(x)与f(x)相
2222
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应变化如下表：
x 1(??,) 2+ ↗ 1 20 极大值 13(,) 22- ↘ 3 20 极小值 3(,??) 2+ ↗ f'(x) f(x) 所以，x1?13是函数f(x)的极大值点，x2?是函数f(x)的极小值点。 22（2） 因为f(x)为R上的单调函数，而a为正实数，故f(x)为R上的单调递增函数
?f'(x)?0恒成立，即ax2?2ax?1?0在R上恒成立，因此
??4a2?4a?0，结合a?0解得0?a?1
【解题指导】：极值点的判定一定要结合该点两侧导数的符号，不可盲目下结论。同时还要注意“极值”与“极值点”的区别避免画蛇添足做无用功。
某区间（a,b）上连续可导函数单调性与函数导数符号之间的关系为： 若函数f(x)在区间（a,b）上单调递增（递减），则f'(x)?0（f'(x)?0） 若函数f(x)的导数f'(x)?0（f'(x)?0），则函数f(x)在区间（a,b）上单调递增（递减）
若函数f(x)的导数f'(x)?0恒成立，则函数f(x)在区间（a,b）上为常数函数。 5. (2011年高考全国新课标卷理科20)（本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA， MA?AB = MB?BA，M点的轨迹为曲线C。 （Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。
分析：（1）按照“建系、设点、列式、化简”求轨迹方程；（2）把点到直线的距离用动点坐标表示，然后化简，利用均值不等式求最值。
解：（Ⅰ）设动点M的坐标为M(x,y)，则依题意：B(x,?3),A(0,?1),
?MA?(?x?1,?y),MB?(0,?3?y),AB?(x,?2)，
(MA?MB)?AB?0由此可得(?x,?4?2y)(x,?2)?0，即曲线C的方程为：y?12x?2 4
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(Ⅱ)设点P(x0,y0)是曲线C上任一点，又因为，y??直线方程为：y?y0?11x所以，直线L的斜率k?x0，其2212x0(x?x0),即x0x?2y?2y0?x0?0，所以原点到该直线的距离212x0?2， 4d?22y0?x02x0?4，又因为，y0?12x0?41422?d??(x0?4?)?2，
222x0?4x0?4所以，当且仅当x0?0时，所求的距离最小为2.
点评：此题考查曲线方程的求法、直线方程、点到直线的距离、用不等式求最值以及导数的应用等。要把握每一个环节的关键。
6. (2011年高考全国新课标卷理科21)（本小题满分12分） 已知函数f(x)?alnxb?，曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x?2y?3?0。 x?1xlnxk?，求k的取值范围。 x?1x（Ⅰ）求a、b的值；
（Ⅱ）如果当x?0，且x?1时，f(x)?分析：（1）利用导数的概念和性质求字母的值；（2）构造新函数，用导数判定单调性，通过分类讨论确定参数的取值范围。
a(解：（Ⅰ）?f?(x)?x?1?f(1)?1?b?1?lnx)b??x?，由题意知：即??a11 22(x?1)xf?(1)???b???2?2??2lnx1?，所以， x?1x?a?b?1
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)?lnx11f(x)?(?)?x?1x1?x2?(k?1)(x2?1)??2lnx??
x??(k?1)(x2?1)(k?1)(x2?1)?2x,(x?0)则，h?(x)?设h(x)?2lnx?
xx2k(x2?1)?(x?1)2⑴如果k?0，由h?(x)?知，当x?1时， h?(x)?0，而h(1)?0 2x故，由当x?(0,1)时h?(x)?0,当x?(1,??),时h?(x)?0得：
1h(x)?0 21-x- 18 -
lnxklnxk?)?0,即f(x)?? x?1xx?1x1)时，?(k?1)(x2?1)?2x?0,h?(x)?0 ⑵如果k?(0,1)，则当，x?(1,1?k1h(x)?0与题设矛盾； 而h(1)?0；h(x)?0得：
1-x2从而，当x?0时，f(x)?(⑶如果k?1，那么，因为h?(x)?0而h(1)?0，?x?(1,??)时，由h(x)?0得：
1h(x)?0与题设矛盾； 21-x 综合以上情况可得：k????,0?
点评：本题综合考察导数的概念、性质、求导法则、导数的应用、分类讨论等概念、性质、方法和思想。要深入理解和把握并进行拓展。 7. (2011年高考天津卷理科19)（本小题满分14分）
已知a?0，函数f(x)?lnx?ax2,x?0.（f(x)的图像连续不断） （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）当a?13时，证明：存在x0?(2,??)，使f(x0)?f()； 82（Ⅲ）若存在均属于区间?1,3?的?,?，且????1，使f(?)?f(?)，证明
ln3?ln2ln2?a?． 53【解析】本小题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、解不等式、函数的零点等基础知识，考查运算能力和运用函数思想分析解决问题的能力及分类讨论的思想方法.
11?2ax22a,x?(0,??),令f'(x)?0,解得x?（Ⅰ）解:f'(x)??2ax?. xx2a当x变化时, f'(x),f(x)的变化情况如下表:
x (0,f'(x) f(x) 2a) 2a+ 2a 2a0 极大值 (2a,??) 2a-
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所以f(x)的单调递增区间是(0,（Ⅱ）证明: 当a?2a2a);f(x)的单调递减区间是(,??). 2a2a121时，f(x)?lnx?x.由（Ⅰ）知f(x)在(0,2)内单调递增,在(2,??)内
8833单调递减.令g(x)?f(x)?f(),由f(x)在(0,2)内单调递增,故f(2)?f(),即g(2)?0,
223341?9e2'?0,所以存在x0?(2,??)，使f(x0)?f(). 取x?e?2,则g(x)?2232'（Ⅲ）证明:由f(?)?f(?)及（Ⅰ）的结论知??为f(?).
2a??,从而f(x)在[?,?]上的最小值2a又由????1,?,??[1,3],知1???2???3.故??f(2)?f(?)?f(1),即
?f(2)?f(?)?f(3)?ln2?4a??aln3?ln2ln2?a?,从而. ?53ln2?4a?ln3?9a?8．(2011年高考江西卷理科19) (本小题满分12分)
1312x?x?2ax 322（1）若f(x)在(,??)上存在单调递增区间，求a的取值范围．
316（2）当0?a?2时，f(x)在[1,4]的最小值为?，求f(x)在该区间上的最大值．
322解析：（1）f?(x)??x?x?2a，因为函数f(x)在(,??)上存在单调递增区间，所以
32f?(x)??x2?x?2a?0的解集与集合(,??)有公共部分，所以不等式x2?x?2a?0解
3设f(x)??集的右端点落在(,??)内，即2311?1?8a2?，解得a??．
923（2）由f?(x)??x?x?2a?0得
21?1?8a1?1?8a?x?，又0?a?2，所以221?1?8a1?1?8a1?171?1?8a?0，1???4，所以函数f(x)在(1,)上单调增，2222在(1401?1?8a,4)上单调减，又f(1)?2a?，f(4)?8a?，
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