十年高考分类解析与应试策略数学 第七章 直线和圆的方程
●考点阐释
解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科．在建立坐标系后，平面上的点与有序实数对之间建立起对应关系，从而使平面上某些曲线与某些方程之间建立对应关系；使平面图形的某些性质（形状、位置、大小）可以用相应的数、式表示出来；使平面上某些几何问题可以转化为相应的代数问题来研究．
学习解析几何，要特别重视以下几方面：
（1）熟练掌握图形、图形性质与方程、数式的相互转化和利用；
（2）与代数、三角、平面几何密切联系和灵活运用． ●试题类编
一、选择题
1.（2003北京春文12，理10）已知直线ax+by+c=0（abc≠0）与圆x2+y2=1相切，则三条边长分别为|a|，|b|，|c|的三角形（ ）
A.是锐角三角形 C.是钝角三角形
B.是直角三角形 D.不存在
2.（2003北京春理，12）在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0，y=0，2x+3y=30，则△AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（ ）
A.95 B.91 C.88 D.75 3.（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A.x－y=0 C.|x|－y=0
2
2
B.x+y=0 D.|x|－|y|=0
4.（2002京皖春理，8）圆2x＋2y＝1与直线xsinθ＋y－1＝0（θ∈R,θ≠
?2＋kπ，k∈Z）的位
置关系是（ ）
A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定的
5.（2002全国文）若直线（1+a）x+y+1=0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则a的值为（ ）
A.1，－1
B.2，－2
C.1
D.－1
6.（2002全国理）圆（x－1）2＋y2＝1的圆心到直线y=
33x的距离是（ ）
A.
12 B.
32 C.1 D.3
7.（2002北京，2）在平面直角坐标系中，已知两点A（cos80°,sin80°）,B（cos20°，sin20°），则|AB|的值是（ ）
A.
12 B.
22 C.
32 D.1
8.（2002北京文，6）若直线l：y＝kx?的倾斜角的取值范围是（ ）
3与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l
20
A.[??6,3) B.(??6,2)
C.(??32,) D.[??62
,2]
22229.（2002北京理，6）给定四条曲线：①x＋y＝
2
52，②
x9?y4＝1，③x＋
2
y4＝1，④
x4＋y
2
＝1．其中与直线x+y－5=0仅有一个交点的曲线是（ ）
A.①②③
B.②③④
C.①②④
D.①③④
10.（2001全国文，2）过点A（1，－1）、B（－1，1）且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的方程是（ ）
A.（x－3）2＋（y＋1）2＝4
C.（x－1）2＋（y－1）2＝4
B.（x＋3）2＋（y－1）2＝4
D.（x＋1）2＋（y＋1）2＝4
11.（2001上海春，14）若直线x=1的倾斜角为α，则α（ ） A.等于0
B.等于
?4 C.等于
?2 D.不存在
12.（2001天津理，6）设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x－y+1=0，则直线PB的方程是（ ）
A.x+y－5=0 B.2x－y－1=0 C.2y－x－4=0 D.2x+y－7=0
13.（2001京皖春，6）设动点P在直线x=1上，O为坐标原点．以OP为直角边，点O为直角顶点作等腰Rt△OPQ，则动点Q的轨迹是（ ）
A.圆
B.两条平行直线
C.抛物线 D.双曲线
14.（2000京皖春，4）下列方程的曲线关于x=y对称的是（ ） A.x2－x＋y2＝1 B.x2y＋xy2＝1 C.x－y=1 D.x2－y2＝1 15.（2000京皖春，6）直线（3?2）x+y=3和直线x+（2?3）y=2的位置关系是（ ）
A.相交不垂直 B.垂直 C.平行 D.重合
16.（2000全国，10）过原点的直线与圆x2＋y2＋4x＋3＝0相切，若切点在第三象限，则该直线的方程是（ ）
A.y=3x
B.y=－3x
C.y=
33x D.y=－
33x
17.（2000全国文，8）已知两条直线l1：y=x，l2：ax－y=0，其中a为实数，当这两条直线的夹角在（0，
?12）内变动时，a的取值范围是（ ）
20
A.（0，1） B.（
33,3）
C.（
33，1）∪（1，3） D.（1，3）
18.（1999全国文，6）曲线x+y+22x－2A.直线x=2轴对称 C.点（－2，
22
2y=0关于（ ）
B.直线y=－x轴对称 D.点（－2，0）中心对称
2）中心对称
19.（1999上海，13）直线y=
33
x绕原点按逆时针方向旋转30°后所得直线与圆
（x－2）2+y2=3的位置关系是（ ）
A.直线过圆心
B.直线与圆相交，但不过圆心 D.直线与圆没有公共点
C.直线与圆相切
22
20.（1999全国，9）直线3x+y－23=0截圆x＋y＝4得的劣弧所对的圆心角为（ ）
A.
?6 B.
?4 C．
?3 D.
?2
21.（1998全国，4）两条直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0垂直的充要条件是（ ） A.A1A2＋B1B2＝0 B.A1A2－B1B2＝0 C.
A1A2B1B2??1 D.
B1B2A1A2=1
22.（1998上海）设a、b、c分别是△ABC中∠A、∠B、∠C所对边的边长，则直线sinA2x+ay+c=0与bx－sinB2y+sinC=0的位置关系是（ ）
A.平行 B.重合
C.垂直 D.相交但不垂直
23.（1998全国文，3）已知直线x=a（a>0）和圆（x－1）2+y2=4相切，那么a的值是（ ） A.5 B.4 C.3 D.2
24.（1997全国，2）如果直线ax+2y+2=0与直线3x－y－2=0平行，那么系数a等于（ ） A.－3
B.－6
C.－
32 D.
23
25.（1997全国文，9）如果直线l将圆x2+y2－2x－4y=0平分，且不通过第四象限，那么直线l的斜率的取值范围是（ ）
A.［0，2］ C.［0，
B.［0，1］ D.［0，
12］
12）
26.（1995上海，8）下列四个命题中的真命题是（ ）
A.经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0=k（x－x0）表示
20
B.经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y－y1）2（x2－x1）=（x－x1）（y2－y1）表示
C.不经过原点的直线都可以用方程
xa?yb?1表示
D.经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示
27.（1995全国文，8）圆x＋y－2x＝0和x＋y＋4y＝0的位置关系是（ ） A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 28.（1995全国，5）图7—1中的直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则（ ）
A.k1＜k2＜k3 B.k3＜k1＜k2
C.k3＜k2＜k1
2
2
2
2
D.k1＜k3＜k2
29.（1994全国文，3）点（0，5）到直线y=2x的距离是（ ） A.
5232 B.5
图7—1 C. D.
52
二、填空题
30.（2003上海春，2）直线y=1与直线y=3x+3的夹角为_____.
31.（2003上海春，7）若经过两点A（－1，0）、B（0，2）的直线l与圆（x－1）2+ （y－a）2=1相切，则a=_____.
32.（2002北京文，16）圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的动点Q到直线3x＋4y＋8＝0距离的最小值为 ．
33.（2002北京理，16）已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A、B是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值为 ．
34.（2002上海文，6）已知圆x2＋（y－1）2＝1的圆外一点P（－2，0），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ．
35.（2002上海理，6）已知圆（x＋1）2＋y2＝1和圆外一点P（0，2），过点P作圆的切线，则两条切线夹角的正切值是 ．
36.（2002上海春，8）设曲线C1和C2的方程分别为F1（x，y）＝0和F2（x，y）＝0，则点P（a，b）?C1∩C2的一个充分条件为 ．
2222
37.（2001上海，11）已知两个圆：x＋y＝1①与x＋（y－3）＝1②，则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程．将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例．推广的命题为：
38.（2001上海春，6）圆心在直线y=x上且与x轴相切于点（1，0）的圆的方程为 . 39.（2000上海春，11）集合A＝｛（x，y）|x2＋y2＝4｝，B＝｛（x，y）|(x－3)2＋(y－4)2＝r2｝，其中r＞0，若A∩B中有且仅有一个元素，则r的值是_____.
40.（1997上海）设圆x+y－4x－5=0的弦AB的中点为P（3，1），则直线AB的方程是 . 41.（1994上海）以点C（－2，3）为圆心且与y轴相切的圆的方程是 . 三、解答题
42.（2003京春文，20）设A（－c，0），B（c，0）（c>0）为两定点，动点P到A点的距离与到B点的距离的比为定值a（a>0），求P点的轨迹.
43.（2003京春理，22）已知动圆过定点P（1，0），且与定直线l：x=－1相切，点C在l上.
20
2
2
（Ⅰ）求动圆圆心的轨迹M的方程；
（Ⅱ）设过点P，且斜率为－3的直线与曲线M相交于A、B两点.
（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由； （ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.
44.（2002全国文，21）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为2，点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程．
45.（1997全国文，25）已知圆满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1；③圆心到直线l：x－2y=0的距离为
46.（1997全国理，25）设圆满足：
（1）截y轴所得弦长为2；
（2）被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．
在满足条件（1）、（2）的所有圆中，求圆心到直线l：x－2y=0的距离最小的圆的方程.
47.（1997全国文，24）已知过原点O的一条直线与函数y=log8x的图象交于A、B两点，分别过点A、B作y轴的平行线与函数y＝log2x的图象交于C、D两点.
（1）证明点C、D和原点O在同一条直线上. （2）当BC平行于x轴时，求点A的坐标.
48.（1994上海，25）在直角坐标系中，设矩形OPQR的顶点按逆时针顺序依次为O（0，0），P（1，t），Q（1－2t，2+t），R（－2t，2），其中t∈（0，＋∞）.
（1）求矩形OPQR在第一象限部分的面积S（t）.
（2）确定函数S（t）的单调区间，并加以证明.
49.（1994全国文，24）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数λ（λ>0）.求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.
●答案解析
1.答案：B
解析：圆心坐标为（0，0），半径为1.因为直线和圆相切.利用点到直线距离公式得：d=
55，求该圆的方程.
|c|a?b22=1，
即a2+b2=c2.所以，以|a|，|b|，|c|为边的三角形是直角三角形.
评述：要求利用直线与圆的基本知识，迅速找到a、b、c之间的关系，以确定三角形形状.
2.答案：B 解析一：由y=10－
23x（0≤x≤15，x∈N）转化为求满足不等式y≤10－
23x（0≤x≤15，x∈N）所
有整数y的值.然后再求其总数.令x=0，y有11个整数，x=1，y有10个，x=2或x=3时，y分别有9个，x=4时，y有8个，x=5或6时，y分别有7个，类推：x=13时y有2个，x=14或15时，y分别有1个，共91个整点.故选B.
解析二：将x=0，y=0和2x+3y=30所围成的三角形补成一个矩形.如图7—2所示.
对角线上共有6个整点，矩形中（包括边界）共有16311=176.因此所求△
图7—2 20