故{bn}的前三项为:d,2d,4d,即:q?2,又?d?q,?d?1……6分 故an?n?1, bn?2n?1……7分
0,n?1??(2).当n?1时,c1?0, 当n?2时,bncn?an?an?1?1,故cn??1.…9分
,n?2??2n?1n?1123n?1即: cnan?n?1.故Tn??2?3???n?1 ①.
222221123n?1Tn?2?3?4???n ②. 22222由①-②得:
11(1?n?1)11111n?1n?1n?12Tn??2?3???n?1?n?2?n?1?n……13分
1222222221?2n?1故:Tn? 2?n?1.……14分
220. 如图（1）所示的等腰梯形ABCD中，由平面几何方法， 过A，B两点分别作CD的垂线，结合已知条件经计算易得：
图(1)
//CD?4.故?AED,?BEC及?AEB均为正三角形，且三点 BFD/在一条直线上.易得BD/?AE且BF//EC.……2分
(1).解法一:在图（2）中，连接BD，BF，?G,H分别为BC,CD 的中点,故GH//BD，又BF//EC，故面FBD//面EGH， 又DF?面FBD，故DF//平面EGH.……6分
(第20题)
//解法二:连接CF交EG于M,连HM,易得M为CF的中点,故HM为?CDF的中位线,? DF//HM,故DF//平面EGH.……6分
(2)以F为坐标原点，FB，FA所在射线分别为x,y轴建立如图所示空间直角坐标系.显然?BFD为二面角D?AE?B的平面角，设?BFD??，
则有：D(0,3cos?,3sin?)，C(?2,3,0)，A(1,0,0)，E(?1,0,0).……8分
H为CD的中点，故H(?1,333?cos?,sin?)， 222EH?(0,333?cos?,sin?)，AD?(?1,3cos?,3sin?)， 222?EH?AD?33333cos??cos2??sin2??cos??，……11分 22222异面直线EH与AD所成角为
?， 33(cos??1)?AD?EH62故cos?==cos??1……13分 3|AD||EH|46|2?cos??14解得:cos???1 ……14分 321.解：（1）由题可知，a?2b且a2?b2?5，解得：a?2,b?1，……3分
x2?y2?1……5分 故椭圆的方程为：4（2）设直线l的方程为y?kx?m，A(x1,y1)，B(x2,y2)
?y?kx?m?由?x2可得(1?4k2)x2?8kmx?4(m2?1)?0，由韦达定理有： 2?y?1??48km?x?x??2??11?4k2且??16(1?4k2?m2)?0……7分 ?24(m?1)?x1x2??1?4k2??k1,k,k2构成等比数列，?2k?k1k2=
由韦达定理代入化简得：k?2(kx1?m)(kx2?m)，即：km(x1?x2)?m2?0
x1x211.?k?0，?k?.……9分 42此时??16(2?m2)?0，即m?(?2,2). 故S?11|m||AB|?d? 1?k2|x1?x2|?2221?k1(x1?x2)2?4x1x2?|m|?2?m2?|m|……11分 2??32322222又S1?S2??(x1?y1?x2?y2)??(x1?x2?2)
44443??5???[(x1?x2)2?2x1x2]??为定值. ……13分 1624??S1?S25???4S12?m2?|m|?5??当且仅当m?1?(?2,2)时等号成立. 4综上：
S1?S25??[,??)?……15分
4S22.解：（1）当a?0时：f(x)?(xlnx?1)ex，（x?0） 故f'(x)?(lnx?1?xlnx?1)ex?lnx(x?1)ex……2分
当x?1时：f'(x)?0，当x?1时：f'(x)?0，当x?1时：f'(x)?0. 故f(x)的减区间为：(0,1)，增区间为(1,??)……4分 （2）f'(x)?(lnx?xlnx?ax?a2)ex
2令g(x)?lnx?xlnx?ax?a，故g(x)?'111?lnx?1?a,g''(x)??2?,…6分 xxx显然g''(1)?0，又当x?1时：g''(x)?0.当x?1时：g''(x)?0.
故g'(x)min?g'(1)?2?a，?a??2，?g'(x)?g'(x)min?2?a?0. 故g(x)在区间(,??)上单调递增，……7分
注意到：当x???时，g(x)???，故g(x)在(,??)上的零点个数由
1e1e11g()?(a?1)(a?1?)的符号决定. ……8分 ee111①当g()?0，即：?2?a??1?或a?1时：g(x)在区间(,??)上无零点，即
eeef(x)无极值点.
②当g()?0，即：?1?1e11?a?1时：g(x)在区间(,??)上有唯一零点，即 eef(x)有唯一极值点.
11或a?1时：f(x)在(,??)上无极值点. ee11当?1??a?1时：f(x)在(,??)上有唯一极值点. ……10分
ee1（3）假设存在a，使得f(x)在区间(,??)上与x轴相切，则f(x)必与x轴相切于极值
e1点处，由（2）可知：?1??a?1.不妨设极值点为x0，则有：
e综上：当?2?a??1??f'(x0)?(lnx0?x0lnx0?ax0?a2)ex0?0?(*)同时成立. ……11分 ?x02?f(x0)?(x0lnx0?ax0?a?a?1)e?0联立得：lnx0?a?1?0，即x0?e?(a?1)代入（*）可得e?(a?1)?(a?1)?a2?0.
令t??(a?1),t?(?2,)，h(t)?et?t?(t?1)2.……12分
1e1''''1则h(t)?e?2t?3，h(t)?e?2，当 t?(?2,)时h(t)?h()?ee?2?0 ee't''t1（?e?e?2）.故h'(t)在t?(?2,)上单调递减.又h'(?2)?e?2?1?0，
1
e121e112h()?ee??3?0.故h'(t)在t?(?2,)上存在唯一零点t0.
eee'1即当t?(?2,t0)时h'(t)?0，h(t)单调递增.当t?(t0,)时h'(t)?0，h(t)单调递减.
1e13'1因为h(?2)?e?2?1?0，h()?ee?2??1?0.
eee故h(t)在t?(?2,t0)上无零点，在t?(t0,)上有唯一零点. ……14分 由观察易得h(0)?0，故a?1?0，即：a??1.
综上可得：存在唯一的a??1使得f(x)在区间(,??)上与x轴相切. ……15分
11e1e
自选综合参考答案
(极坐标与参数方程)
1.解：（1）由??sin??cos?22可得：?cos???sin???cos?，在与极坐标系相对2cos?应的直角坐标系中：??x??cos?，故上式为x2?y?x，即y?x2?x.……4分
?y??sin?1??x??tcos?(2)在直角坐标系中，设直线AB的参数方程为：?(t为参数),带入曲线C2??y?tsin?122的方程并整理得：tcos??tsin???0.设t1,t2,t0分别为A,B,Q在直线上的参
4sin??t?t??12cos2??1?22数，则有：?t1t2??且??sin??cos??1?0，cos??0. 24cos???t?t1?t20?2?故
|t1?t2|?1|AB|?11?1??????2???|PQ|?|t1?t2|??|PA||PB|??|t1||t212?|t1?t2|?|t1|?|t2|???…8分 ?2?????|?|t1?t2|?|t1||t2|?结合图像易知：P(,0)在线段AB上，故|t1|?|t2|?|t1?t2|，即：
|t1?t2|2|t1?t2|28原式?2， ??2|t1?t2||t1t2||t1?t2||t1t2||sin?|?cos??0，故|sin?|?1，即
8?8.
|sin?|综上：
|AB|?11??8……10分 ??????|PQ|?|PA||PB|?(数学史与不等式选讲)
2222.解：（1）?a?b?c?(a?121313a)?(b2?b2)?(c2?c2) 24444111133?(a2?b2)?(a2?c2)?(b2?c2) 242444212?12ab?13ac?bc……4分
22b2c2325252?当且仅当a?,即a?,b?c?时等号成立. bc?2，?ab?ac?22255综上:ab?ac?32bc的最大值为:2 ……5分 2a6b6c6??)?(a3?b3?c3)2 （2）由柯西不等式得：(3?a?b?c)(1?a1?b1?ca6b6c6(a3?b3?c3)2???即：，……7分 1?a1?b1?c3?a?b?c1(a2?b2?c2)2?又a?b?c?，令t?a?b?c a?b?ca?b?c333a6b6c6(a3?b3?c3)21???则. ?21?a1?b1?c3?a?b?ct(3?t)?t?a?b?c?3a2?b2?c2?3，
a6b6c6113?3???,……9分 ?2??1?a1?b1?ct(3?t)3(3?3)18当且仅当a?b?c?3时等号成立. 3a6b6c63?3??综上:的最小值为.……10分 1?a1?b1?c18