? 30??0??0?? 30??1??3?因为?，B（1，7－a）在矩阵A???＝??，????＝??，所以A（0，7）
?－1b??7??7b??－1b??7－a??b（7－a）－1?
对应的变换作用下分别得到点A′（0，7b），B′（3，b（7－a）－1）.
由题意，知A′，B′在直线l′：9x＋y－91＝0上，
???7b－91＝0，?a＝2，?所以解得? ?27＋b（7－a）－1－91＝0，?b＝13.??（解法2）设直线l上任意一点P（x，y），点P在矩阵A对应的变换作用下得到点Q（x′，y′）.
?x′＝3x，?? 30??x??x′?
?因为?＝，所以 ?????
?y′＝－x＋by.?－1b??y??y′??
因为点Q（x′，y′）在直线l′上，所以9x′＋y′－91＝0. 即27x＋（－x＋by）－91＝0，也即26x＋by－91＝0. 又点P（x，y）在直线l上，所以有ax＋y－7＝0.
26b－91所以＝＝，解得a＝2，b＝13.
a1－7
?a1?
2. 已知在矩阵A＝??对应的变换作用下把点（1，1）变换成点（2，2）.
?0b?
（1） 求a，b的值，
22
（2） 求曲线C：x＋y＝1在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程.
???a＋1＝2，?a＝1，?a1??1??2?
解：（1） 由?∴ ? ???＝??，得?
?b＝2，?b＝2.?0b??1??2???
（2） 设曲线C上任一点M′（x0，y0）在矩阵A对应的变换作用下得到点M（x，y），
?11??11??x0??x?∵ A＝??，∴ ????＝??，
?02??02??y0??y?
1
x0＝x－y，
2??x＝x0＋y0，
即?∴ ?y＝2y0，1?
y0＝y.
2
1?2?1?2?∵ 点M′在曲线C上，∴ ?x－y?＋?y?＝1. ?2??2?122
故所求曲线方程为x－xy＋y＝1.
2
?－1 a?
3. 已知a，b∈R，若在矩阵M＝??所对应的变换作用下把直线2x－y＝3变换成自身，试求实数a，
? b 3?
b.
?－1 a??x?
解：设直线2x－y＝3上任意一点A（x，y）在矩阵M对应的变换作用下得到点A0（x0，y0），则????
? b 3??y?
?x0＝－x＋ay，??x0?
＝??，得?
?y＝bx＋3y.?y0??0
∵ 2x0－y0＝3，∴ 2（－x＋ay）－（bx＋3y）＝3. 即（－2－b）x＋（2a－3）y＝3. 此直线即为2x－y＝3，
?－2－b＝2，?a＝1，??∴ ?解得?
??2a－3＝－1，b＝－4.??
4. 二阶矩阵M对应的变换将点（1，－1）与（－2，1）分别变换成点（－1，－1）与（0，－2）.设直线l在矩阵M对应的变换作用下得到了直线m：x－y＝4，求l的方程.
?ab??ab?? 1??－1?
解：设M＝?，则有?????＝??，
?cd??cd??－1??－1?
?ab??－2?? 0?????＝??， ?cd?? 1??－2?
?????
a－b＝－1，a＝1，???c－d＝－1，?b＝2，?1所以?解得?所以M＝?
－2a＋b＝0，c＝3，?3??－2c＋d＝－2.??d＝4，
2?
?. 4?
设直线l上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下得到点P′（x′，y′）.
?x′??12??x??x＋2y?因为??＝????＝??，
?y′??34??y??3x＋4y??x′＝x＋2y，?所以?又m：x′－y′＝4，
?y′＝3x＋4y.?
所以直线l的方程为（x＋2y）－（3x＋4y）＝4， 即x＋y＋2＝0.
?10?1. 求曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M＝?
解：设点（x0，y0）为曲线|x|＋|y|＝1上的任意一点，在矩阵M＝?
?1对应的变换作用下得到的曲线所围成图形的面积.
?0?
3??
?10?
?（x′，1对应的变换作用下得到的点为
?0?
3??
?10?x0
??x0＝x′，???x′???y′），则 ?＝??，所以?
?01???y0＝3y′.?y0??y′??
3??
?10?
?所以曲线|x|＋|y|＝1在矩阵M＝?1对应的变换作用下得到的曲线为|x|＋3|y|＝1，
?0?
3??
122
所围成的图形为菱形，其面积为×2×＝. 233
?23?
2. 已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝??对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1.
?01?
（1） 求实数a，b的值；
?x0??x0?
（2） 若点P（x0，y0）在直线l上，且A??＝??，求点P的坐标.
?y0??y0?
?23??x??x′?
解： （1） 设直线l上一点（x，y）在矩阵A对应的变换作用下得点（x′，y′），则? ???＝??，
?01??y??y′?
?x′＝2x＋3y，?∴ ?代入直线l′，得2x＋（b＋3）y＝1，
?y′＝y.?
∴ a＝2，b＝－2.
（2） ∵ 点P（x0，y0）在直线l上，∴ 2x0＋y0＝1.
??x0＝2x0＋3y0，?23??x0??x0?
由? ???＝??，得?
?y＝y，?01??y0??y0?00?
3x0＝，
51??3
∴ ∴ P?，－?.
5??51
y0＝－，5
?an＋4??an?
3. 设数列{an}，{bn}满足an＋1＝2an＋3bn，bn＋1＝2bn，且满足??＝M??，求二阶矩阵M.
?bn＋4??bn?
?an＋1??2 3??an?
解： 依题设有??＝????，
?bn＋1??0 2??bn?
?23?4
令A＝??，则M＝A，
?02?
?2 3??2 3??4 12?2
A＝????＝??.
?0 2??0 2??0 4?
?????
?4 12??4 12??16
M＝A＝（A）＝????＝?
?0 4??0 4?? 0
?
4. 已知直线l：ax－y＝0在矩阵A＝?
?
4
2
2
96??. 16?01?12?
，?对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1）
求实数a的值.
解：设P（x，y）为直线l上任意一点，在矩阵A对应的变换作用下变为直线l′上的点P′（x′，y′），
?x′＝y，?x＝－2x′＋y′，???x′??01??x?
??则??＝?，即∴ ???
??y′＝x＋2y，y＝x′.?y′??12??y???
代入ax－y＝0，整理，得－（2a＋1）x′＋ay′＝0. 将点（1，1）代入上述方程，解得a＝－1.
几种特殊的变换 反射变换：
?1 0?M＝?，变换前后关于x轴对称； ?：点的变换为（x，y）→（x，－y）
?0－1??－10?M＝?，变换前后关于y轴对称； ?：点的变换为（x，y）→（－x，y）
? 01??－1 0?M＝?，变换前后关于原点对称； ?：点的变换为（x，y）→（－x，－y）
? 0－1??01?M＝?，变换前后关于直线y＝x对称. ?：点的变换为（x，y）→（y，x）
?10?投影变换：
?10?M＝?； ?：将坐标平面上的点垂直投影到x轴上，点的变换为（x，y）→（x，0）
?00??00?M＝?； ?：将坐标平面上的点垂直投影到y轴上，点的变换为（x，y）→（0，y）
?01??10?M＝?； ?：将坐标平面上的点垂直于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为（x，y）→（x，x）
?10??01?M＝?； ?：将坐标平面上的点平行于x轴方向投影到y＝x上，点的变换为（x，y）→（y，y）
?01?1122?x＋y，x＋y?. M＝：将坐标平面上的点垂直于y＝x方向投影到y＝x上，点的变换为（x，y）→??2??211
22
????????
第2课时 逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与 特征向量（对应学生用书（理）194～197页）
① 掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.② 会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用特征值和特征向量进行矩阵运算.
① 理解逆矩阵的意义，掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件，并能进行矩阵的运算.② 会求二阶矩阵的特征值和特征向量，会利用矩阵求解方程组，会利用特征值和特征向量进行矩阵运算. ?12??10?－1
1. 设二阶矩阵A，B满足A＝??，BA＝??，求B.
?34??01?
?1 0??1 2??1 2?－1
解：∵ B＝BAA＝????＝??，
?0 1??3 4??3 4?
?a b??1 2??a b??1 0?－1
设B＝??，则????＝??，
?c d??3 4??c d??0 1??a＋2cb＋2d??1 0?即??＝??， ?3a＋4c3b＋4d??0 1?
－1
a＋2c＝1，??b＋2d＝0，∴ ?
3a＋4c＝0，??3b＋4d＝1.
?b＝1，?3
解得?c＝，
21?d＝－?2.?－2 1?
－1?∴ B＝?31.
? －?
2??2
?－1 0??12
2. 已知矩阵A＝?，B＝??
? 0 2??06
?ab?
解：设矩阵A的逆矩阵为??，
?cd?
?－10??ab??10?则????＝??， ?02??cd??01??－a－b??10?即??＝??， ?2c2d??01?
?－1
?，求矩阵AB. ?
a＝－2，
1
所以a＝－1，b＝c＝0，d＝，
2
?－10?－1?， 从而矩阵A的逆矩阵为A＝?1?0?
2??
?－10?12
???－1－2?－1??所以AB＝?＝??.
?01???06??0 3?
2??
?－12?
?的一个特征值为－2，求M2. 3. 已知矩阵M＝?5
? x??2?
?λ＋1－2?
?＝λ2－（x－1）λ－（x＋5）＝0，得x＝3. 解：将λ＝－2代入?5
?－λ－x?
2??
?－12?
?64?2??∴ 矩阵M＝，∴ M＝??.
? 53??514??2??2??a2?4. 设??是矩阵M＝??的一个特征向量，求实数a的值.
?3??32?
???2a＋6＝2λ，?λ＝4，?2??a2??2??2?
解：设??是矩阵M属于特征值λ的一个特征向量，则?解得? ???＝λ??，故?
??12＝3λ，a＝1.?3??32??3??3???
?a2??1?
5. 已知矩阵M＝??的属于特征值8的一个特征向量是e＝??，点P（－1，2）在M对应的变换作用
?4b??1?
下得到点Q，求点Q的坐标. ?a2??1??1?
解：由题意知????＝8×??，
?4b??1??1?
?a＋2＝8，?a＝6，??故?解得? ??4＋b＝8，b＝4.??
?62??－1??－2?∴ ????＝??，
?44?? 2?? 4?
∴ 点Q的坐标为（－2，4）.
1. 逆变换与逆矩阵
（1） 对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵.
－1－1－1
（2） 若二阶矩阵A，B均存在逆矩阵，则AB也存在逆矩阵，且（AB）＝BA. （3） 利用行列式解二元一次方程组. 2. 特征值与特征向量
（1） 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的属于特征值λ的一个特征向量.
（2） 从几何上看，特征向量经过矩阵A对应的变换作用后，与原向量保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（λ>0），或者方向相反（λ<0）.特别地，当λ＝0时，特征向量就被变换成了零向量.