, 1 求逆矩阵与逆变换)
?21??1 1?
, 1) 已知矩阵A＝??，B＝??.求矩阵C，使得AC＝B.
?13??0－1?
解： 因为det（A）＝2×3－1×1＝5，
3－131
－
5555－1
所以A＝＝.
－1212
－
5555－1－1
由AC＝B，得（AA）C＝AB，
－1
所以C＝AB＝
3134 － 55?1 1?55
. ??＝
12?0－1?13－ －－5555变式训练
?21??x??4?－1
（2017·常州期末）已知矩阵A＝?，列向量X＝，B＝?????.若AX＝B，直接写出A，并求出X.
?32??y??7?
?21?? 2－1?－1
解：由A＝??，得A＝??.
?32??－3 2?
? 2－1??4??1?－1
由AX＝B，得X＝AB＝????＝??.
?－3 2??7??2?
, 2 求特征值与特征向量)
?31?
, 2) 求矩阵??的特征值及对应的特征向量.
?13?
?λ－3－1?22
解：特征多项式f（λ）＝??＝（λ－3）－1＝λ－6λ＋8.
?－1λ－3?
由f（λ）＝0，解得λ1＝2，λ2＝4.
?－x－y＝0，?? 1?
将λ1＝2代入特征方程组，得??x＋y＝0，可取??为属于特征值λ1＝2的一个特征向量.
??－1??－x－y＝0
??x－y＝0，
同理，当λ2＝4时，由??x－y＝0，
?－x＋y＝0?
?1?
所以可取??为属于特征值λ2＝4的一个特征向量.
?1?
?31?
综上所述，矩阵??有两个特征值λ1＝2，λ2＝4；
13??
? 1??1?
属于λ1＝2的一个特征向量为??，属于λ2＝4的一个特征向量为??.
?－1??1?
变式训练
?a3??1??8?
（2017·苏北三市模拟）已知矩阵A＝??，若A??＝??，求矩阵A的特征值.
?2d??2??4?
?1??a3??1??a＋6??8?
解： 因为A??＝????＝??＝??，
?2??2d??2??2＋2d??4??a＋6＝8，?a＝2，???23?所以? 解得? 所以A＝??.
??2＋2d＝4，d＝1.21????
?λ－2－3?2
所以矩阵A的特征多项式为f（λ）＝?（λ－1）－6＝λ－3λ－4. ?＝（λ－2）
?－2λ－1?
令f（λ）＝0，解得矩阵A的特征值为λ1＝－1，λ2＝4. , 3 根据特征值或特征向量求矩阵)
?33??1?
, 3) 已知矩阵A＝??.若矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝??，属于特征值
?cd??1?
?
???????????????
????????????????
? 3?
1的一个特征向量为α2＝??，求矩阵A，并写出A的逆矩阵.
?－2?
?1??
解：由矩阵A属于特征值6的一个特征向量为α1＝??，可得?
?1??? 3??3
由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α2＝??，可得?
?－2??c
??c＝2，?3 3??联立①②解得即A＝??， ?d＝4，?2 4??
33??1??1?
???＝6??，即c＋d＝6 ①. cd??1??1?3?? 3?? 3?
???＝??，即3c－2d＝－2 ②. d??－2??－2?
?2
3?所以A的逆矩阵是
?－1?3
备选变式（教师专享）
－
??. 1 ?2?
12
?1?
已知二阶矩阵M有特征值λ＝3及对应的一个特征向量e1＝??，并且在矩阵M对应的变换作用下将点（－1，
?1?
2）变换成（9，15），求矩阵M.
?ab??ab??1??1??3?
解： 设M＝??，则????＝3??＝??，
?cd??cd??1??1??3?
??a＋b＝3，故? ?c＋d＝3.?
??－a＋2b＝9，?ab??－1?? 9?
????＝??，故?
?－c＋2d＝15.?cd?? 2??15??
a＝－1，
??b＝4，
联立以上两个方程组解得?
c＝－3，??d＝6，
故M＝?
?－14?
?.
?－36?
, 4 特征值与特征向量的综合应用)
? 1 2??5?5
, 4) 已知矩阵A＝??，向量α＝??，计算Aα.
?－1 4??3?
?λ－1－2?2
解：因为f（λ）＝??＝λ－5λ＋6.
λ－4??1
由f（λ）＝0，得λ＝2或λ＝3.
?2??1?
当λ＝2时，对应的一个特征向量为α1＝??；当λ＝3时，对应的一个特征向量为α2＝??.
?1??1?
?m＝2，??5??2??1?
设??＝m??＋n??，解得?
?n＝1.?3??1??1??
21?371?55??5??所以Aα＝2×2??＋1×3??＝??. ?1??1??307?
变式训练
?2 m??1??0??1?2
已知矩阵M＝??的两个特征向量α1＝??，α2＝??.若β＝??，求Mβ.
?n 1??0??1??2?
解：设矩阵M的特征向量α1对应的特征值为λ1，特征向量α2对应的特征值为λ2，
m＝0，
?n＝0，?Mα1＝λ1α1，则由?可解得
?Mα＝λα，λ＝2，2221?
2
??
???λ
＝1.
?1??1??0?
又β＝??＝??＋2??＝α1＋2α2，
?2??0??1?
?1??0??4?
所以Mβ＝M（α1＋2α2）＝λα1＋2λα2＝4??＋2??＝??.
?0??1??2?
2
2
21
22
?2?? 1a?
1. （2017·苏州期初）已知α＝??为矩阵A＝??属于λ的一个特征向量，求实数a，λ的值及
?1??－14?
A.
解：由条件可知，?
2
? 1a??2????＝λ
?－14??1??2???， ?1?
???2＋a＝2λ，?a＝2，所以?解得?
?－2＋4＝λ，?λ＝2.??
? 1因此A＝?
?－1? 12
所以A＝?
?－12??， 4?
2?? 12??－110????＝??. 4??－14??－514?
?1?
2. （2017·苏州期中）已知二阶矩阵M有特征值λ＝8及对应的一个特征向量e1＝??，并且矩阵M将点
?1?
（－1，3）变换为（0，8）.
（1） 求矩阵M；
（2） 求曲线x＋3y－2＝0在矩阵M对应的变换作用下的新曲线方程.
?ab??ab??1??1??ab??－1??0?
解：（1） 设M＝??，由????＝8??及????＝??，
?cd??cd??1??1??cd?? 3??8?
a＋b＝8，a＝6，
???c＋d＝8，?b＝2，?6得?解得?∴ M＝?
－a＋3b＝0，c＝4，?4??－c＋3d＝8，??d＝4，
2?
?. 4?
（2） 设原曲线上任一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下的对应点为P′（x′，y′），
??x′＝6x＋2y，?x′??62??x?
则??＝? ???，即?
?y′＝4x＋4y，?y′??44??y??
2x′－y′x＝，
8
解得
－2x′＋3y′y＝，
8
代入x＋3y－2＝0并整理得x′－2y′＋4＝0，
即曲线x＋3y－2＝0在矩阵M对应的变换作用下得到的新曲线方程为x－2y＋4＝0.
?m 2?? 1?
3. （2017·南京、盐城期末）设矩阵M＝??的一个特征值λ对应的一个特征向量为??，求实
?2－3??－2?
数m与λ的值.
?m 2?? 1?? 1?
解：由题意得?＝λ?????，
2－3－2?????－2?
???m－4＝λ，?m＝0，则?解得? ?2＋6＝－2λ，?λ＝－4.??
?1?（0，1）分别变换成点?9，－2?，?－3，4?.设变
4. （2017·无锡期末）已知变换T将平面内的点?1，?，?4??2?
?2?????
换T对应的矩阵为M.
（1） 求矩阵M；
（2） 求矩阵M的特征值.
?1?? 9?abab???????4?
解：（1） 设M＝?， ?，则??1＝
?cd??cd?????
?2??－2?
?????
?－3?ab0?????2?
， ????＝??cd1????
? 4?3
得a＝3，b＝－，c＝－4，d＝4，
2
? 3－3?
2?. ∴ M＝?
??
?－4 4?
（2） 设矩阵M的特征多项式为f（λ），
3??λ－3
22?＝（λ－3）∴ f（λ）＝?（λ－4）－6＝λ－7λ＋6.
??
4λ－4??
令f（λ）＝0，则λ1＝1，λ2＝6.
?3 a?
1. 已知a，b是实数，如果矩阵A＝??所对应的变换T把点（2，3）变成点（3，4）.
?b －2?
（1） 求a，b的值；
2
（2） 若矩阵A的逆矩阵为B，求B.
?3 a??2??3?
解：（1） 由题意，得????＝??，
?b －2??3??4?
???6＋3a＝3，?a＝－1，故?解得? ?2b－6＝4，?b＝5.??
?3 －1?
（2） 由（1），得A＝??.
?5 －2?
?2 －1?
由矩阵的逆矩阵公式得B＝??.
?5 －3?
?－1 1?2
所以B＝??.
?－5 4?
?12??－1－2?－1
2. （2017·南通、泰州模拟）设矩阵A满足：A??＝??，求矩阵A的逆矩阵A.
?06?? 0 3?
?ab??ab??12??－1－2?
解：（解法1）设矩阵A＝??，则????＝??，所以a＝－1，2a＋6b＝－2，c＝0，
?cd??cd??06?? 0 3?
2c＋6d＝3.
?－10?－10?1?.根据逆矩阵公式得A－1＝?解得b＝0，d＝，所以A＝???. 1? 0?2? 02?
2??
?12??－1－2??12?－1?－1－2?－1
（解法2）在A??＝??两边同时左乘逆矩阵A，得??＝A??.
?06?? 0 3??06?? 0 3??ab??12??ab??－1－2?－1
设A＝?，则???＝????，
?cd??06??cd?? 0 3?
所以－a＝1，－2a＋3b＝2，－c＝0，－2c＋3d＝6.
?－10?－1
解得a＝－1，b＝0，c＝0，d＝2，从而A＝??.
? 02?
?1 0?－1
3. 已知矩阵M＝??，求逆矩阵M的特征值.
?2 2??a b?－1
解：设M＝??，
?c d?
?1 0??a b??1 0?－1
则MM＝????＝??，
?2 2??c d??0 1?ab???1 0?
所以??＝??，
?2a＋2c2b＋2d??0 1?
???b＝0，?b＝0，
所以?解得?c＝－1，所以M
2a＋2c＝0，
1??2b＋2d＝1，?d＝?2.
a＝1，
1
. 2
a＝1，
? 10?－1?. ＝?1?－1?
2??
0??λ－1
1??－1?M的特征多项式为f（λ）＝?1＝（λ－1）?λ－2?，令f（λ）＝0，解得λ＝1或λ＝
?1??λ－?
2??
1－1
所以矩阵M的逆矩阵M的特征值为1和. 2
?1 2??1?6
4. 已知矩阵M＝?，β＝???，计算Mβ.
?2 1??7?
?λ－1－2?2
解：矩阵M的特征多项式为f（λ）＝??＝λ－2λ－3.
?－2λ－1?
?1?? 1?
令f（λ）＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，对应的一个特征向量分别为α1＝??，α2＝??.
?1??－1?
令β＝mα1＋nα2，得m＝4，n＝－3.
1??2 913??1?6?Mβ＝M（4α1－3α2）＝4（Mα1）－3（Mα2）＝4×3??－3×（－1）??＝??.
?1??－1??2 919?
6
6
6
6
6
错误![备课札记]