2015-2016学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知，M={x|x（x﹣1）＜0}，N={x|x＞0}，则M∩N等于（ ） A．（0，1）B．（0，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞） 2．双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为（ ） A．y=±xB．y=±
xC．y=±2xD．y=±x
3．下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间（﹣1，1）内有零点的函数是（ ） A．y=﹣x3B．y=2x﹣1C．y=x2﹣D．y=log2（x+2）
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．3B．6C．9D．12 5．m为平面α内的一条直线， β表示两个不同的平面，已知α，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件 6．M是BC的中点，AM=1，在△ABC中，点P在AM上且满足学，则等于（ ） A．
B．
C． D．
7．如图，某地一天中6时至14时的温度变化曲线近似满足函数y=Asin（ωx+φ）+b（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π），那么中午12时温度的近似值（精确到1°C）是（ ）
A．25°CB．26°CC．27°CD．28°C
8．若a≥0，b≥0，且当x，y满足时，恒有ax+by≤1成立，则以a，b为坐标的点
P（a，b）所构成的平面区域的面积等于（ ） A．1B． C． D．
二．填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9．a=20.3，
，c=sin1，则a，b，c之间的大小关系是 ．
10．直线y=x被圆x2+y2﹣2y﹣3=0截得的弦长等于 ．
11．已知数列{an}是等差数列，公差d≠0，a1=1，a1，a3，a6成等比数列，则数列{an}的公差d等于 ；前n项和Sn等于 ． 12．△ABC中，a=2，，B=60°，则△ABC的面积等于 ． 13．某校从8名教师中选派4名教师去4个边远地区支教，每地1人，其中甲和乙不能同去，甲与丙同去或者同不去，则不同的选派方案有 种．（用数字作答）
14．在测量某物体的重量时，得到如下数据：a1，a2，…a9，其中a1≤a2≤…≤a9，若用a表示该物体重量的估计值，使a与每一个数据差的平方和最小，则a等于 ；若用b表
示该物体重量的估计值，使b与每一个数据差的绝对值的和最小，则b等于 ．
三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．已知函数
．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和单调增区间； （Ⅱ）求f（x）在区间
上的最大值与最小值．
16．某校为了解甲、乙两班学生的学业水平，从两班中各随机抽取20人参加学业水平等级考试，得到学生的学业成绩茎叶图如下：
（Ⅰ）通过茎叶图比较甲、乙两班学生的学业成绩平均值
甲
与及方差与的大小；
（只需写出结论）
（Ⅱ）根据学生的学业成绩，将学业水平分为三个等级： 学业成绩 低于70分 70分到89分 不低于90分 学业水平 一般 良好 优秀 根据所给数据，频率可以视为相应的概率．
（ⅰ）从甲、乙两班中各随机抽取1人，记事件C：“抽到的甲班学生的学业水平等级高于乙班学生的学业水平等级”，求C发生的概率；
（ⅱ）从甲班中随机抽取2人，记X为学业水平优秀的人数，求X的分布列和数学期望． 17．如图，在三棱锥K﹣ABC中，平面KAC⊥平面ABC，KC⊥AC，AC⊥AB，H为KA的中点，KC=AC=AB=2．
（Ⅰ）求证：CH⊥平面KAB；
（Ⅱ）求二面角H﹣BC﹣A的余弦值；
（Ⅲ）若M为AC中点，在直线KB上是否存在点N使MN∥平面HBC，若存在，求出KN的长，若不存在，说明理由．
18．已知函数（a＞0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅲ）若f（x）≥2lnx在[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围． 19．已知椭圆G：
上的点
到两焦点的距离之和等于
．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）经过椭圆G右焦点F的直线m（不经过点M）与椭圆交于A，B两点，与直线l：x=4相交于C点，记直线MA，MB，MC的斜率分别为k1，k2，k3．求证：
为定值．
20．若数对（a，b）（a＞1，b＞1，a，b∈N*），对于?m∈Z，?x，y∈Z，使m=xa+yb成立，则称数对（a，b）为全体整数的一个基底，（x，y）称为m以（a，b）为基底的坐标； （Ⅰ）给出以下六组数对（2，3），（2，5），（2，6），（3，5），（3，12），（9，17），写出可以作为全体整数基底的数对；
（Ⅱ）若（a，b）是全体整数的一个基底，对于?m∈Z，m以（a，b）为基底的坐标（x，y）有多少个？并说明理由；
（Ⅲ）若（2，m）是全体整数的一个基底，试写出m的所有值，并说明理由．
2015-2016学年北京市大兴区高三（上）期末数学试卷（理
科）
参考答案与试题解析
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．已知，M={x|x（x﹣1）＜0}，N={x|x＞0}，则M∩N等于（ ） A．（0，1）B．（0，+∞）C．（0，1）∪（1，+∞）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞） 【考点】交集及其运算．
【分析】直接由一元二次不等式解出集合M，从而求出M∩N． 【解答】解：∵M={x|x（x﹣1）＜0}， ∴M={x|0＜x＜1}， ∵N={x|x＞0}，
∴M∩N={x|0＜x＜1}∩{x|x＞0}={x|0＜x＜1}． 故选：A．
2．双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为（ ） A．y=±xB．y=±
xC．y=±2xD．y=±x
【考点】双曲线的标准方程．
【分析】双曲线x2﹣y2=2的渐近线方程为x2﹣y2=0，由此能求出结果． 【解答】解：x2﹣y2=2的渐近线方程为x2﹣y2=0， 整理，得y=±x． 故选：A．
3．下列函数中，在定义域内单调递增，且在区间（﹣1，1）内有零点的函数是（ ） A．y=﹣x3B．y=2x﹣1C．y=x2﹣D．y=log2（x+2）
【考点】二分法求方程的近似解．
【分析】根据题意，分别判定每一个选项中的函数是否满足条件即可． 【解答】解：对于A，y=﹣x3是减函数，不符合题意，
对于B，y=2x﹣1在（﹣1，1）上是增函数，且x=﹣1时，y=﹣＜0，x=1时，y=1＞0，∴函数有零点，满足题意；
对于C，y=x2﹣在（﹣∞，0）为减函数，在（[0，+∞）为增函数，∴不满足题意； 对于D，y=log2（x+2）定义域内为增函数，但是当x=﹣1，y=0，当x=1，y＞1，函数在（﹣1，1）无零点，∴不满足题意． 故选：B．
4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A．3B．6C．9D．12
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图得该几何体是一个倒放的四棱锥S﹣ABCD，其中ABCD是矩形，AD=2，AB=3，SA⊥平面ABCD，且SA=3，由此能求出该几何体的体积．
【解答】解：如图，由三视图得该几何体是一个倒放的四棱锥S﹣ABCD， 其中ABCD是矩形，AD=2，AB=3，SA⊥平面ABCD，且SA=3， ∴该几何体的体积为： V=故选：B．
=
=6．
5．m为平面α内的一条直线， β表示两个不同的平面，已知α，则“α⊥β”是“m⊥β”的（ ）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系．
【分析】判充要条件就是看谁能推出谁．由m⊥β，m为平面α内的一条直线，可得α⊥β；反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β．
【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，且m⊥β，则α⊥β，反之，α⊥β时，若m平行于α和β的交线，则m∥β，所以不一定能得到m⊥β， 所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件． 故选B． 6．M是BC的中点，AM=1，在△ABC中，点P在AM上且满足学，则等于（ ） A．
B．
C． D．
【考点】向量的共线定理；平面向量数量积的运算．