第四讲 函数与几何变换结合的综合题（两课时）
教学目标:
(一)教学知识点
轴对称、中心对称、正比例函数、一次函数和二次函数的图像及性质、平行四边形的性质、菱形的性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形和直角三角形的判定、圆的有关知识、解二元一次方程组、点的坐标、全等三角形的判定与性质等。
(二)能力训练要求
进一步强化学生的对称思想，培养学生综合运用多种知识和多种数学思想方法解决问题的能力。
教学重点：几何变换在函数综合题中的应用
教学难点：准确掌握几何变换前后图形的本质特征，寻找变换前后的联系。 教学过程：
一、引入：
从近年的中考试题来看，函数结合几何变换的题目已成为中考压轴题的热点题型。涉及到的几何变换常见的有轴对称（含翻折）、平移、旋转等。
二、例题讲解：
题型1：结合轴对称变换的函数综合题
2
例1 (2006?烟台)如图1,已知抛物线l1:y=x-4的图像与x轴交于A,C两点.(1)若抛物线l2与l1关于x轴对称,求l2的解析式；(2)若点B是抛物线l1上的一动点(B不与A,C重合),以AC为对角线,A,B,C三点为顶点的平行四边形的第4个顶点定为D,求证:点D在l2上；(3)探索:当点B分别位于l1在x轴上、下两部分的图像上时,平行四边形ABCD的面积是否存在最大值和最小值?若存在,判断它是何种特殊平行四边形,并求出它的面积;若不存在,请说明理由.
2
解析：(1)设l2的解析式为y=a(x-h)+k,因为l2与x轴的交点为A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4), l1与l2关于x轴对称,所
2
以l2过A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,4),可得l2的解析式为y=ax+4,且有0=4a+4,解得
2
a=-1.因此l2的解析式为y=-x+4.
2
(2)设B(x1,y1),由点B在l1上,可得B(x1,x1-4),又因为四边形ABCD是平行四边形,A,C
22
关于点O对称,所以B,D关于点O对称,可得D(-x1,-x1+4),将D(-x1,-x1+4)的坐标代入
2
l2:y=-x+4,可知等式左边等于等式右边.所以点D在l2上。
(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则S=2S△ABC=AC·|y1|=4|y1|,
①当点B在x轴上方时,y1>0,此时S=4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而增大,所以S既无最大值也无最小值；
②当点B在x轴下方时,-4≤y1<0,此时S=-4y1,它是关于y1的正比例函数且S随y1的增大而减小,所以当y1=-4时,S有最大值16,但它没有最小值.
由①,②可知,点B(0,-4)在y轴上,它的对称点D也在y轴上.所以AC⊥BD.因此,平行四边形ABCD是菱形,此时S最大=16.
例2（2005?北京）已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y?kx?4k的图象与x轴
1
交于点A，抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点。
（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上4是否存在这样的点P，使得?POA??OBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明
3理由。 解析：
（1）解法一：∵一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为（4，0） ∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点， ∴c?0,16a?4b?0 ∴b??4a 解法二：∵一次函数y?kx?4k的图象与x轴交于点A， ∴点A的坐标为（4，0） ∵抛物线y?ax2?bx?c经过O、A两点， ∴抛物线的对称轴为直线x??∴b??4a
（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA， ∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO
又由（1）知抛物线的解析式为 y?ax2?4ax， ∴点D的坐标为（2,?4a） ① 当
时，如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为
，显然
，它沿x轴
b?2， 2a翻折后所得劣弧为 所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它
的圆心为D'， ∴点D'与点D也关于x轴对称
∵点O在⊙D'上，且OD与⊙D'相切， ∴点O为切点， ∴D'O⊥OD ∴∠DOA＝∠D'OA＝45°， ∴△ADO为等腰直角三角形， ∴OD?22 1∴点D的纵坐标为-2， ∴?4a??2， ∴a?,b??4a??2
2∴抛物线的解析式为y? ②当
12x?2x 2
时， 同理可得：
1 抛物线的解析式为y??x2?2x
2 综上，⊙D半径的长为 ，抛物线的解析式为 y?121x?2x或y??x2?2x 224 （3）抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得?POA??OBA
3 设点P的坐标为（x，y），且y＞0
2
①当点P在抛物线y?12x?2x上时（如图2） 21 ∵点B是⊙D的优弧上的一点， ∴?OBA??ADO?45?，
24∴?POA??OBA?60?， 过点P作PE⊥x轴于点E，
3∴tan?POE?yEP， ∴?tan60?， ∴y?3x
xOE12??y?x?2x?x?0??x?4?232 由? 解得?1，?2（不合题意，舍
y?0?2??y?3x?y1?6?43?去）
∴点P的坐标为（4?23，6?43） 1 ②当点P在抛物线y??x2?2x上时（如图3）
2 同理可得，y?3x
12???x?0?y??x?2x?x?4?232 由?解得?1，?2（不合题意，
y?0??y?3x?y1??6?43?2?舍去）， ∴点P的坐标为 （4?23，?6?43）
综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为（4?23，6?43）或（4?23，?6?43）. 注：函数与轴对称结合的综合题主要有两类：一类是函数图像自身进行了轴对称变换；另一类是其他图形进行了轴对称变换。
题型2：与旋转变换结合的函数综合题:
例3 （2006?山西）如图,已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A(-4,0),B(-2,0),
E(0,8).(1)求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；(2)设抛物线C1的顶点为M,抛物线C2与x轴分别交于C,D两点(点C在点D的左侧),顶点为N,四边形MDNA的面积为S.若点A,D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；此时,点M,N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动,直到点A与点D重合为止.求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系
式,并写出自变量t的取值范围;(3)当t为何值时,四边形MDNA的面积S有最大值,并求出此最大值;(4)在运动过程中,四边形MDNA能否形成矩形?若能，求出此时t的值;若不能,请说明理由.
解析：（1）点A（－4，0），点B（－2，0），点E（0，8）
3
关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），F（0，－8） 设抛物线C2的解析式是y?ax2?bx?c(a?0)
?16a?4b?c?0?a??1??则?4a?2b?c?0 解得?b?6
?c??8?c??8??
∴所求抛物线的解析式是y??x2?6x?8
（2）由（1）可计算得点M（－3，－1），N（3，1）
过点N作NH⊥AD，垂足为H.
当运动到时刻t地，AD=2OD=8－2t，NH=1+2t
根据中心对称的性质OA=OD，OM=ON，∴四边形MDNA是平行四边形 ∴S?2S?ADN, ∴四边形MDNA的面积S?(8?2t)(1?2t)??4t∵运动至点A与点D重合为止，据题意可知0?t?4.
2∴所求关系式是S??4t?14t?8，t的取值范围是0?t?4
2?14t?8
7?81（0?t?4） （3）S??4??t???，
?4?4∴t?7时，S有最大值81 .
44提示：也可用顶点坐标公式来求。
（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形。
由（1）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD、MN， ∴当AD=MN时四边形MDNA是矩形. ∴OD=ON, ∴OD2?ON2?OH2?NH2, ∴t2?4t?2?0
解得t1?6?2，t2??6?2（不合题意，舍去）. ∴在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时t?6?2.
题型3：函数与平移变换结合的综合题：
例4 (2006?上海)如图,在直角坐标系中,O为原点.点A在x轴的正半轴上,点B在y
2
轴的正半轴上,tan∠OAB=2.二次函数y=x+mx+2的图像经过点A、B,顶点为D.
(1)求这个二次函数的解析式；(2)将△OAB绕点A顺时针旋转90°后,点B落到点C的位置.将上述二次函数的图像沿y轴向上或向下平移后经过点C.请直接写出点C的坐标和平移后所得图像的函数解析式；(3)设(2)中平移后所得二次函数的图像与y轴的交点为B1,顶点为D1.点P在平移后的二次函数的图像上,且满足△PBB1的面积是△PDD1面积的2倍.求点P的坐标.
解析：
(1)由题意,点B的坐标为(0,2),所以,OB=2.因为tan∠OAB=2,即OBOA=2,所以OA=1.
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则点A的坐标为(1,0).又因为二次函数y=x+mx+2的图像过点A,所以有0=1+m+2.解得
2
m=-3.故所求二次函数的解析式为y=x-3x+2.
2
(2)由题意,可得点C的坐标为(3,1),所求二次函数的解析式为y=x-3x+1.
(3)由(2),经过平移后所得的图像是原二次函数的图像向下平移1个单位后的图像,那
4
么,对称轴直线x=
2
3不变,且BB1=DD1=1.因为点P在平移后所得的二次函数的图像上，设点P2的坐标为(x,x-3x+1).在△PBB1和△PDD1中,因为S△PBB1=2S△PDD1,所以边BB1上的高是边DD1上的高的2倍.
3），解得x=3.所以点P的坐标为(3,1)； 23②当点P在对称轴的左侧,同时在y轴的右侧时,x=2（-x）,解得x=1.
2①当点P在对称轴的右侧时,x=2（x-所以点P的坐标为(1,-1)；
③当点P在y轴的左侧时,x<0.又-x=（x-
3）,解得x=3>0(舍去). 2综上，所求点P的坐标为(3,1)或(1,-1).
三、小结
函数与几何变换结合的综合题主要有两类：一类是函数图像自身进行了几何变换；另一类是其他图形进行了几何变换。
通过以上几例，我们不难发现新课程下中考压轴题的一个新走势：以直角坐标系和函数为载体，融代数、几何为一体，在几何图形的操作变换过程中感悟数学知识，体验数学规律，突出对考生的发散思维能力、探究能力、创新能力、综合运用能力等方面的考察。
课后练习：
2
1.(2006?十堰)已知抛物线C1:y=-x+2mx+n(m,n为常数,且m≠0,n>0)的顶点为A,与y轴交于点C,抛物线C2与抛物线C1关于y轴对称,其顶点为B,连接AC,BC,AB.
(1)请在横线上直接写出抛物线C2的解析式； (2)当m=1时,判定△ABC的形状,并说明理由；
(3)抛物线C1上是否存在点P,使得四边形ABCP为菱形?如果存在,请求出m的值；如果不存在,请说明理由.
解析：
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(1)抛物线C1:y=-x+2mx+n的顶点坐标为A(m,m+n)与y轴的交点坐标为C(0,n). ∵ C2与C1关于y轴对称,
2
∴ C2的顶点坐标为B(-m,m+n),与y轴的交点坐标为C(0,n).
2
∴ C2的解析式为y=-x-2mx+n.
2
(2)当m=1时,C1的解析式为y=-x+2x+n,A(1,1+n),
2
C(0,n)，C2的解析式为y=-x-2x+n,B(-1,1+n),C(0,n).它们的图像如右图所示,此时△ABC为等腰直角三角形.
设AB交y轴于H,因为A、B关于y轴对称,C在y轴上,所以AC=BC,又因为A(1,1+n), B(-1,1+n),C(0,n),所以AH=BH=CH=1.因此△ABC为直角三角形,即△ABC为等腰直角三角形.
(3)存在.
在△ABC中,由题意知,AC=BC,CH⊥AB.
当四边形ABCP为菱形时,△ABC为等边三角形,∠ACB=60°,所以∠ACH=30°.
在Rt△AHC中,CH=3AH,因为CH=|m+n-n|=m,AH=|m|,所以m=3|m|,可得m=±3.
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