目录
第1章 绪论 ................................................................................................................. 1
1.1 选题背景及意义 ............................................................................................ 1 1.2 问题的提出 .................................................................................................... 1 1.3 相关文献综述 ................................................................................................ 1 1.4 论文的主要结构 ............................................................................................ 2 第2章 反常积分的收敛方法 ..................................................................................... 4
2.1非负函数无穷积分的收敛判别法 ................................................................. 4 2.2一般无穷积分的收敛判别法 ......................................................................... 5 2.3本章小结 ......................................................................................................... 6 第3章 无穷级数的收敛方法 ..................................................................................... 7
3.1 无穷级数的概念 ............................................................................................ 7 3.2正项级数的一般判别方法 ............................................................................. 7 3.3一般项级数收敛性判别方法 ....................................................................... 10 第4章 无穷级数与无穷积分的关系探讨 ............................................................... 12
4.1反常积分与数项级数的联系 ....................................................................... 12 4.2无穷积分和无穷级数的审敛法比较 ........................................................... 12 4.3无穷积分与无穷级数差异 ........................................................................... 13 4.4本章小结 ....................................................................................................... 14 结束语.......................................................................................................................... 14 致谢.............................................................................................................................. 16 参考文献 ..................................................................................................................... 17
第1章 绪论
1.1 选题背景及意义
级数和反常积分是微积分学中的重要内容,微积分又是以极限为工具来研究数学内容的 .数学分析也叫微积分学它是在17世纪中叶由牛顿和莱布尼茨创立,由麦克劳林、泰勒、达郎贝尔、拉格郎日等数名数学家,历经200多年的发展和完善直到19世纪末才形成现今我们说的数学分析主要内容 .对于级数主要包括数项级数、交错级数、函数项级数、幂级数以及傅里叶级数等主要内容；反常积分也称广义积分主要包括无穷积分和瑕积分两方面内容；反常积分是学习了定积分后又一新的内容,是对定积分的进一步推广,反常积分打破了定积分的区间有穷性和被积函数的有界性限制,无穷积分主要研究的是无穷区间上的“积分”问题,瑕积分主要研究的是无界函数的积分问题 ,它们的共同点都是以极限为工具转化为我们熟悉定积分问题进行研究的 .
1.2 问题的提出
本论文想通过对反常积分和数项级数以及它们的含参量形式这两对概念的定义、性质、收敛判别法等方面加以比较,列出相平行的结论,得出它们之间确实有着本质的联系这一事实,进而找到这一联系；意义是根据它们的联系,就可以通过离散的形式的理论或研究方法探索得到相应的连续形式的结论,或反过来由连续的形式探究离散形式的理论方法,从而学会知识的迁移,解决更多的问题.
1.3 相关文献综述
《数学分析》（上、下册）是数学系数学专业的一门重要基础课,它的任务是使学生获得极限论,一元函数微分学,无穷级数与多元函数微积分学等方面的系统知识.上册内容包括实数集和函数,数列,极限,函数极限,连续性,导数和微分,微分中值定理及其应用,实属完备性,不定积分,定积分及其应用,反常积分等,附录分为微分学简史,实数理论,积分表等；下册包括数项级数,函数列与函数项级数,幂级数,隐函数,多元函数微积分等.
《数学分析中的典型问题与方法》这本书全面、系统地总结和归纳了数学分析问题的基本类型,每种类型的基本方法,旨在拓宽基础,启发思路,培养学生分析问题和解决问题的能力.包括一元函数极限、连续、微分、积分、级数；多元函数极限、连续、微分、积分.并参阅了70余种教材、文献及参考书,经过反复推敲、修改和筛选,在几代人长期教学实践的基础上编写而成.选题具有很强的典型性、灵活性、启发性、趣味性和综合性,对培养学生的能力极为有益.
《数学分析的思想方法》通过多角度、深层次、全方位地探讨了数学分析学科的思想方法对数学分析内容体系中所体现的重要思想进行了探讨与分析.并且通过大量的事例对数学分析内容中所常用的数学思想进行了举例与分析；对数学美与数学分析中的美学思想进行了论述与分析；对微积分创立过程中数学家的思想和方法进行了整理与分析；最后以附录的形式将古代数学家解决问题的方法进行了举例与说明.
《数学分析纵横谈》的作者用唯物史观阐述微积分的发展史和评价历史人物, 采用文理渗透的方法,探索数学分析与史学、 逻辑学、 哲学、 美学及心理学等的联系,融学术性、 教育性、 指导性为一体, 是一部数学研究的力作, 对21世纪的《数学分析》课程建设, 将发挥重要的作用.
《数学分析原理》是数学系经典原版书籍,共分为十一章,涉及了实和复的数域、拓扑、序列与级数、连续性、微分、黎曼—斯蒂尔切斯积分、函数列与函数项级数、特殊函数、多元函数以及勒贝格理论等与数学分析相关的内容.
反常积分与无穷级数在惟质及敛散性判别法方面极其类似，无穷积分的许多结论几乎是无穷级数相应部分的逐字逐句的“搬家”.目前,许多文献对无穷积分和无穷级数进行了研究.如张千祥[1]等.研究了无穷积分与无穷级数的关系；关东月[2]，研究了无穷积分与无穷级数收敛的必要条件的不同之处。本文则主要给反常积分和无穷级数的一个等价关系，进行比较研究。
1.4 论文的主要结构
对反常积分和数项级数概念的定义、性质以及收敛判别法等方面列出了很多平行结论加以比较,对其中一些重要结论给出了证明,指出了它们之间可以相互
转化.并根据这种转化关系,利用一类问题的解法得到另一类问题的求解.最后指出了它们之间存在的一些差别.
第1章从选题背景及意义、问题提出、相关文献综述、论文结构这四个方面来阐述,说明了该论题研究现状和成果.
第2章 从反常积分的收敛方法，通常所讲的反常积分和无穷级数在理论和
研究方法上联系.而通过适当地换元,无穷积分和瑕积分又可以相互转化.
第3章 简单介绍无穷级数概念与各种收敛方法.
第4章 探讨了反常积分与无穷级数收敛关系，并对它们的判别法进行了对比研究.
第2章 反常积分的收敛方法
通常所讲的反常积分主要包含两类：无穷区间上的反常积分(或称无穷积分)和无界函数的反常积分(或称瑕积分).反常积分和无穷级数在理论和研究方法上几乎是平行的.而通过适当地换元,无穷积分和瑕积分又可以相互转化,因此,只需要对其中一类反常积分进行讨论即可,以下主要以无穷积分为例,探析反常积分与无穷级数收敛性关系.
2.1非负函数无穷积分的收敛判别法
定理2.1[3]（比较判别法） 设定义在上的两个非负函数和都在任何有限区上可积,且满足
, ,
则当收敛时必收敛(或者,当发散时必发散）. 推论2.1（比较判别法的极限形式） : 若和都在任何有限区间上可积,当时,且,则有：
(i)当时,与同敛态；
（ii）当时,有收敛可推知也收敛； (iii)当时,由发散可推知也发散.
特别地,如果选用作为比较对象,则我们有如下两个推论（称为柯西判别
法）.
推论2.2（Cauchy判敛法）:
若定义于,且在任何有限区间上可积,则有： (i)当0?f(x)???1??,x?a,??,且p?1时，f(x)dx收敛； p?ax