??1 （ii）当f(x)?p,x??a,???,且p?1时，?af(x)dx发散. x
推论2.3（Cauchy判敛法的极限形式 ）:
若是定义于上的非负函数,在任何有限区间上可积,且 ,则有
（i）当p?1,0?????时， ?f(x)dx收敛；a?? (ii)当p?1,0?????时，?f(x)dx发散.
a?? 例2.1 讨论下列无穷积分的收敛性
解：,所以由推论3知收敛.
2.2一般无穷积分的收敛判别法
这里来介绍两个判别一般无穷积分收敛的判别法
定理2.2（狄利克雷判别法） 若在区间上上有界 ,在上当时单调趋于0,则收敛.
定理2.3（阿贝尔判别法） 若收敛 ,在上单调有界 , 则收敛. 例2.2 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛.
解：令x?t2,则dx?2tdt,从而有???1 ??sint??sintsinxdx???2tdt?2?dt,而对任给u?1，211xtt
1有?sintdt?cos1?cosu?2,而当x???时，单调趋于0，1x??sintsintsin2t故由狄利克雷判别法知?1tdt收敛，又t?t??dt1cos2t??,这里?发散.12t2t2t
u所以2?即?????1??sinsintxdt发散，故?dx发散.1tx1sinx在?1，???是条件收敛的.x例2.3 讨论积分(a>0) 的收敛性（p为实数） 解：当时,因
=（）
所以发散． 当1时 ===Ip(b)
因为 Ip(b)=
所以积分当p>1时收敛,值为；当p<1时发散
例2.4 讨论积分 (a>0)的收敛性． 解：因( 同理
所以收敛,
且
2.3本章小结
详细介绍了无穷积分比较判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法,用不同的判别法来判断例题的敛散性.
第3章 无穷级数的收敛方法
3.1 无穷级数的概念
给定一个数列,对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式
（3-1）
称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数）,其中称为数项级数的通项或一般项.数项级数也常写作或简单写作.数项级数的前项之和,记为
, （3-2）
称它为数项级数的第个部分和,也简称部分和.
若数项级数的部分和数列收敛于即（）,则称收敛,称为的和,记作 或 .
若是发散数列,则称数项级数（3-1）发散.
3.2正项级数的一般判别方法
定理3.1（正向级数的单调有界判别）正项级数收敛的充要条件是：部分和
数列有界,即存在某正数M,对一切正整数有.
定理3.2（正项级数的比较原则）设级数和是两个正项级数,如果存在某正整数,对一切都有
, 则(i)若级数收敛,则级数也收敛； (ii)若级数发散,则级数也发散. 例3.1 判别级数敛散性； 解：因为
而正项级数收敛，由比较判别法知级数收敛.
推论3.1（正项级数比较判别法的极限形式）设级数和是两个正项级数.若 则
(i)当时,级数和同时收敛或同时发散； (ii)当时且级数收敛时,级数也收敛；
(iii)当时且级数发散时,级数也发散. 例3.2判别级数敛散性；
a?1at?1atlna?lim?lim?lna 解：因为limn??t?0t?01t1nn而正项级数发散，有比较判别法极限形式知发散.
判别级数根据比较原则,可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性.本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的.
定理3.3（达朗贝尔判别法,或称比式判别法）设为正项级数,且存在某正整数及常数
(i)若对一切,成立不等式 ,
则级数收敛.
(ii)若对一切,成立不等式 , 则级数发散.
例3.3判别的敛散性 解 因为
limun?11?3???(2n?1)n!?lim?n??un??(n?1)!1?3???(2n?1)n2n?1?2?1n??n?1?lim
所以正项级数发散.
推论3.2（比式判别法的极限形式)若为正项级数,且
则 （i）当时,级数收敛； （ii）当或时,级数发散.
定理3.4（柯西判别法,或称根式判别法）设为正项级数,且存在某正整数及正常数,
(i)若对一切,成立不等式 则级数收敛.
(ii)若对一切,成立不等式 则级数发散.
例3.4 判断判别法；
n1?n??lim??1 解 因为limn??n??n??2n?12?2n?1?n所以由根式判别法知收敛.
推论3.3（根式判别法的极限形式）设为正项级数,且 则
(i)当时,级数收敛； (ii)当时,则级数发散.
积分判别法时利用非负函数的单调性和积分性质,并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性.
定理3.5 (积分判别法) 设为上非负减函数,那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.
定理3.6(拉贝判别法) 设为正项级数,且存在某正整数及常数, (i)若对一切,成立不等式
,
则级数收敛；
(ii)若对一切,成立不等式 则级数发散.
例3.5 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性
解：因为
n???limn(1?un?1)1?un?1?3???(2n?1)2?4???(2n)?(2n?1)??lim?1-?? n???2?4???2n?(2n?2)?(2n?3)1?3???(2n?1)??n(6n?5)3?lim??1n???(2n?2)(2n?3)2