1.1对于体积V内N个电子的自由电子气体，证明
p??23????0V??（1）电子气体的压强，其中0为电子气体的基态能量。
10?09V（2）体弹性模量K??V??p?V?为 解：（1）
?10m（1.1.1）
????1hkF225V?12h2?10m?3?2N?V35?23
23
2??1h2?p???3?N2?V?V???10m??V35???????1?2?23?N3??V?310m?h2?2?5?53?????213?2h210m?3??2N?V35?53??23????0V
（1.1.2） （2）
K??V??p?V
?2??21h2???V3?N2??V?3?10m??V35?53??????????V213?2?53?N3??V?310m?h2?2?5?83?1019?2h210m?3?2N?V35?83?10?09V
（1.1.3）
3
3
1.2 He原子是具有自旋1/2的费米子。在绝对零度附近，液体He的密度为0.081g?cm-3。
?243m?5?10g?TFHeF计算费米能量和费米温度。原子的质量为。
解：把 He原子当作负电背景下的正电费米子气体. Z=1.
Z?m1?0.08122?3283n?m?5?10?243?1.62?107cm?1.62?109m
?1（1.2.1） （1.2.2）
?23kF?3?n?2?13?7.8279?10cm?34?7.8279?10m92?1
2m（1.2.3）
?F??kF22?1.055?10??7.8279?10?27?2?5.0?10?23?6.80174?10J?4.2626?10?4eVTF??FkB?6.80174?101.381?10?23?4.92K （1.2.4）
1.3低温下金属钾的摩尔电子热容量的实验测量结果为
气体模型下估算钾的费米温度TF及费米面上的态密度g??F?。
Ce?NA?CV??2Tn??NA?nkB?2TF?Ce?2.08TmJ?mol?1K?1，在自由电子
解：
（1.3.1）
TF?NA2??Tn??NkAB?2TF?
3
?22kBTCe3?6.022?1023??22?1.381?10?23T2.08?10?3T?19.73?10K （1.3.2）
g??F??3n2?F?n2kBTF?31.4?10?2328m?3321.381?10?19.73?10?7.71?1046Jm?1?3
（1.3.3）
1.4铜的密度为
（1）导电电子浓度； （2）驰豫时间；
（3）费米能量?F，费米速度vF；
?m?8.95gcm3
。室温下的电阻率为??1.55?10?6??cm。计算
（4）费米面上电子的平均自由程lF。 （5）等离子体的振荡频率?p. 解：
Z?m1?8.9523（1）
（2）
n?NAA?6.022?10?63.546?8.48?1022cm?3
?312?6 （1.4.1）
?14??m?ne2?mne?2?9.110?10?8.48?10?222?106??1.602?10??1.55?10?1922?10?2??2.7?10s（1.4.2）
（3）（1.4.3）
2kF?3?n2?2?13?3??8.48?10?13?1.36?10cm8?1?1.36?1010m?1
2m（1.4.4）
?F??kF?1.055?10??34?1.36?10?3110?22?9.11?10?34?1.13?10?18J?7.05eV
10
vF??kFm?1.055?10??1.36?10?319.11?106??1.57?10?4.25?1026ms
?14?8 （1.4.5）
（4）
l?vF??1.57?10?2.7?10m16 （1.4.6） Hz.
?p?（5）等离子体的振荡频率
ne?0me?1.64?101.5考虑一在球形区域内密度均匀的自由电子气体，电子系统相对于等量均匀正电荷背景有一小的整体位移。证明在这一位移下系统是稳定的，并给出这一小振动问题的特征频率。
解：（仅供参考）
k1?k0??k?2k0?kcos??22?12
E
（1.5.1）
?k k0 k1
偶极矩强度为：
?P????0k02k12?0?neksin?d?dkd??2kcos?2??????4?ne?20?k1k04kdksin?cos?d?43?0???ne?2k1?k0?0????sin?cos?d???k21???ne?2k1?k0?0222?k022?sin?cos?d???2???ne?2k0?k0??k?2k0?kcos??k?2k0?kcos?sin?cos?d?2? （1.5.2）
取近似，忽略?k的2阶以上无穷小量
?
P???ne?22k0?2k0?kcos?sin?cos?d?02??4?nek30?k?2cos?sin?cos?d?0??4?nek430?k30cos?3320
3（1.5.3）
电极化强度为
43??nek0?kPp??3??ne?kVV （1.5.4）
位移电子受到的电场为
?pne?kE???0?0
（1.5.5）
???nek?k
在此电场下，电子受力指向平衡位置，大小正比于位移。所以，电子在平衡位置作微小振动。
特征频率为
?p?
ne2?0m（1.5.6）
1.6在什么波长下，对于电磁波辐照，金属Al是透明的？ 解：金属的等离子体的振荡频率为 ????1,???p当时，金属是透明的。
m???2ne （1.6.1）
?m?（1.6.2） ???p?ne???1?ne2?5.1?1021??1016
28
?19
2?0m?18.1?10?1.602?10?12??28.854?108?9.11?10?31?2.4?1016 （1.6.3） ??c
（1.6.4）
波长小于78.5nm时，金属Al是透明的。
1.7对于自由电子气体，证明电阻率张量的对角元在外加磁场时不发生变化，即横向磁阻为零。
解：
?dpdt????p??eE?v?B??0?2??3?102.4?10162??7.85?10?8m?78.5nm???时
（1.7.1）
?e?????0E?J?B?Jm
（1.7.2） 分量式 e???E?0x?m?e????0Ey?m?e???E??0zm?（1.7.3） ??E????J
（1.7.4）
?JyBz?JzBy??Jx?JzBx?JxBz??Jy?J
xBy?JyBx??Jz