(2)设△ABC的外接圆半径为R,由题意,得2R?c3?=23. sinCsin60?ππ化简f(A?)?f(B?)?46sinAsinB,得
44sinA?sinB?26sinAsinB.
由正弦定理,得2R?a?b??26ab,a?b?2ab. ①
由余弦定理,得a2?b2?ab?9,即?a?b??3ab?9?0. ② 将①式代入②,得2?ab??3ab?9?0.
3331解得ab?3,或 ab??(舍去). S?ABC?absinC?.
422'218. 解： (1) f(x)?3x?9x?6?3(x?1)(x?2),
22 因为x?(??,??),f(x)?m, 即 3x?9x?(6?m)?0恒成立,
'233，即m的最大值为? 44''' (2) 因为 当x?1时, f(x)?0;当1?x?2时, f(x)?0;当x?2时, f(x)?0;
5 所以 当x?1时,f(x)取极大值 f(1)??a;
2 当x?2时,f(x)取极小值 f(2)?2?a;
5 故当f(2)?0 或f(1)?0时, 方程f(x)?0仅有一个实根. 解得 a?2或a?.
2? 19. ⑴f(x)?sin2?x?3cos2?x?1?2sin(2?x?)?1，
3?1?sin(2?x?)?，
32???5??2?x1???2k?或2?x2???2k?(k?Z)
36362??2?|x1?x2|?2k?(k>0)或2?|x1?x2|?2k??
3 所以 ??81?12(6?m)?0, 得m??|x1?x2|min? ?⑵f(x)?2sin(2x?∵sin(??? ∴??1． 3?3?3)?1，由f(a)?2?5，得sin(2??)?，
3635?3?5???4?)??cos[?(?4?)]??cos2(2??) 6263?7?2sin2(2??)?1 ?．
183
6
20. 解:(1)a?1,f?x??x?1?lnx 当x?1时,f?x??x?1?lnx,f'?x??1?1?x'?f?x?在区间?1,???上是递增的
当0?x?1时,f?x??x?1?lnx,fx?1?0. x?x???1?1?0.
x?f?x?在区间?0,1?上是递减的.
故a?1时,f?x?的增区间为?1,???,减区间为?0,1?,f?x?min?f?1??0
lnx1(2) 由(1)可知,当a?1,x?1时,有x?1?lnx?0,即?1?
xxln22ln32lnn211111??1?2?2???2?1?2?1?2???1?2?n?1??2?2???2?23n23n3n??2
?111?11??1111??n?1???????n?1?????????? ?2?33?4?n?n?1??nn?1??2334?1??n?1??2n?1??1=n?1???. ??2?n?1??2n?1?121. 解：（1）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，
e111∴∴①0＜t＜，时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增，
eee11∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（）=﹣，
ee1②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，
e∴f（x）min=f（t）=tlnt，
?f(x)min1?1?,0?t???ee??；
1?tlnt,t??e?（2）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a
题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2）， 即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），
等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点
∵G′（x）=﹣+2，，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 画出函数图象的大致形状（如右图），
7
由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意两式相减可得ln
=2（x2﹣x1）=2ln2
，
∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2， 此时a=ln2﹣ln（
）﹣1，
）﹣1；
2所以，实数a的取值范围为a＞ln2﹣ln（
(附加题) 由题意知:acosx?bcos2x?1?acosx?b(2cos 令cosxx?1)?1
?2bcos2x?acosx?1?b.
2?t,t?[?1,1]，则当f(t)?2bt2?at?1?b?0,t?[?1,1]恒成立，开口向上，
①当b?1时,f(0)?1?b?0,不满足f(t)?2bt?at?1?b?0,t?[?1,1]恒成立；
?f(1)?a?b?1?0?a??(b?1)???|a|?b?1 ……(*)
?f(?1)?b?a?1?0?a?b?1aa当对称轴t???[?1,1]时,即||?1,也即|a|?4b时,有4b≤|a|≤b+1,
4b4b145415则b≤,则|a|?b?1?,则a?b?,当a?,b?时,(a?b)max?.
333333aa[?1?,时1],即||?1,也即|a?|b4时，则必有当对称轴t??4b4b??a2?8b(1?b)?0，即a2?8b(1?b)?8b?8b2,又由（*）知a2?(b?1)2，
②当0 22222222a212?4(b?)?1设22?a?2rcos?rsin?1313r1???rsin(???)????2?1?rsin?(0?r?1)?a?b?2rcos??222222?b??2 ?(a?b)max?2 法二(导数) 8 ?a?xx2??2(y?1)2?1, 则即求函数的导数,椭圆的上半部分 令??b?y2 x21?1?2?y??1?y?24?xx21?2??1?x?42,?y? 33?(x?y)max?2 (法三、柯西不等式）由柯西不等式可知： 111211(a?b?)2?[a?1?8(b?)?]?[a2?8(b?)2][12?()2] 2228818(b?)19a222,即a?8(b?1)及?(8b?8b?8b?8b?2)(1?)?,当且仅当?18421842a2?8b?8b2时等号成立.即当a?,b?时,a+b最大值为2. 33综上可知(a?b)max?2. 9