考前保温13 考前第3天
一、填空题
1．已知集合A??x|?1?x?2?,B??x|0?x?3?,则A?B? . ??1,3?
2．复数Z满足(1?i)Z?|1?i|，则Z的虚部为 ．?3．若将函数f(x)?sin?x的图象向右平移|?|的最小值为__________． 解析 由题意得到?(x?2 2?4个单位得到f(x)?sin(?x??)的图象，则
36?4)??x???2k?，所以??8?12k,k?Z，|?|min?4 63x－y≥0，??x＋y≤1，
4．已知x，y满足约束条件?
10≤y≤??2，
11?
若目标函数z＝ax＋y(其中a为常数)仅在点??2，2?
处取得最大值，则实数a的取值范围是__________．
??x＋y≤1，
解析 由x，y满足约束条件?
10≤y≤??2，
x－y≥0，
画出此不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．
11?由目标函数z＝ax＋y，得y＝－ax＋z，因为z仅在点??2，2?处取得最大值， 所以得－1<－a<1，得实数a的取值范围是(－1,1)． 5．设曲线y?ex在点（0,1）处的切线与曲线y?标为 ．?1,1?
解析 因为y?e，所以y??e，所以曲线y?e在点?0,1?处的切线的斜率
xxx1(x?0)上点p处的切线垂直，则p的坐xk1?y?0，则y0?x?0?e?1，设?的坐标为?x0,y0?（x0?0）
11，因为y?，所以
xx0y???11
y?，所以曲线在点?处的切线的斜率k2?y?2xx
x?x0??1，因为k1?k2??1，2x0所以?12??1，即x0?1，解得x0??1，因为x0?0，所以x0?1，所以y0?1，即?的2x0
坐标是?1,1?，所以答案应填：?1,1?．
6．已知锐角A，B满足2tan A＝tan(A＋B)，则tan B的最大值为__________． 解析 tan B＝tan[(A＋B)－A]＝
tan?A＋B?－tan Atan A1
＝， 2＝11＋tan?A＋B?tan A1＋2tanA
＋2tan Atan A
1212
又tan A>0，则＋2tan A≥22，当且仅当tan A＝时取等号．所以tan B≤＝. tan A2224
??|sin x|，x∈[－π，π]，
7．已知函数f(x)＝?x1，x2，x3，x4，x5是方程f(x)＝m的五个不等的
?lg x，x>π，?
实数根，则x1＋x2＋x3＋x4＋x5的取值范围是__________． 解析 函数f(x)的图象如图所示，
结合图象可得x1＋x2＝－π，x3＋x4＝π，若f(x)＝m有5个不等的实数根，需lg π 228．已知圆M： (x?1)?(y?1)?4，直线l: x?y?6?0,A为直线l上一点, 若圆M上存在点B,C,使得?BAC?60，则点A的横坐标的范围是 . 【答案】1≤x0≤5. 解析 因为点A在圆M外，设AP,AQ分别是与圆M相切于点P,Q. 则?PAQ≥?BAC?60?，从而?MAQ≥30?.因为MQ?2，所以MA≤4.设 ?A(x0,6?x0),则解得MA2?(x0?1)2?(6?x0?1)2≤16,得1≤x0≤5. 二、解答题 9．已知正三角形PAD所在的平面与直角梯形ABCD垂直，AB?AD，AB∥CD，且 AD?DC?2,AB?4. (1) (2) (3) 求证：AB?PD 求点C到平面PAD的距离 在线段PD上是否存在一点M，使得 D C P AM∥平面PBC A B 证明： ??AB?面PAD?面PAD?面ABCD?AD??（1）???AB?PD AB?面ABCD?PD?面PAD??AB?AD?11（2）由VC?PAB?VP?ABC即h?S?PAB?PE?S?ABC 33面PAD?面ABCDh?3（或过D作PA的垂线，求垂线段的长） （3）假设PD上存在点M，使得AM∥平面PBC. 在平面PDC内过点M作MN∥DC交PC于N,连接BN, 面AMNB?面PBC?NB??则AM//面PBC??AM//NB ?AM?面PBC?又 P E D H A F C MN//CD???MN//AB CD//AB?所以平面AMNB是平行四边形 所以MN?AB 这与MN?CD?AB矛盾， 所以假设不成立， 即在线段PD上不存在一点M，使得AM∥平面PBC. B 10．△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的所对边的长，若acosB?1，bsinA?且A?B?2，?4。 （1）求a的值； （2）求tanA的值． 解：（1）由正弦定理知，bsinA＝asinB＝2，① 又acosB＝1， ② ①，②两式平方相加，得(asinB)2＋(acosB)2＝3， 因为sin2B＋cos2B＝1，所以a＝3（负值已舍）； 分 sinB （2）①，②两式相除，得＝2,即tanB＝2, cosB π tanB＋tan 41＋2ππ 因为A－B＝，所以tanA＝tan(B＋)＝ ＝＝ 44π1－21－tanBtan 4 －3－22． 11.某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为108?ml.设圆柱的高度为hcm,底面半径半径为rcm,且h?4r,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关，已知易拉罐侧面制造费用为m元/cm,易拉罐上下底面的制造费用均为n元/cm（m,n为常数） （1）写出易拉罐的制造费用y（元）关于r(cm)的函数表达式，并求其定义域； （2）求易拉罐制造费用最低时r(cm)的值. V1082解：（1）由题意，体积V＝?rh，得h＝2＝2． ?rr 108m2 y＝2?rh×m＋2?r×n＝2? (＋nr2)． r 2r h 22108 因为h≥4r，即2≥4r，所以r≤3，即所求函数定义域为(0，3]． r108m108m （2）令f(r)＝＋nr2，则f'(r)＝－2＋2nr． rr h 由f'(r)＝0，解得r＝33 2m． n 3 2r ①若3 2m ＜1，当n＞2m时，3n 32m ∈(0，3]，由 n 3R f'(r) f(r) (0，3－ 减 2m) n30 32m n(32m，3] n＋ 增 得，当r＝33 2m时，f(r)有最小值，此时易拉罐制造费用最低． n ②若 3 2m≥1，即n≤2m时，由f'(r)≤0知f(r)在(0，3]上单调递减， n 当r＝3时，f(r)有最小值，此时易拉罐制造费用最低． 12．设函数f(x)?x?2x?10的导函数f?(x)，数列?an?的各项均为正数且a1?6， 2f(an)?an?1[f?(an)?7] （1）求证：数列?an?2?是等比数列； （2）求数列?an?的前n项和Sn； （3）若数列?bn?满足bn?f(18909a)??900，求n的最大值. n解析：（1）证明：∵f(x)?x2?3x?10，∴f?(x)?2x?3 设cn?an?2，则an?cn?2， ∵f(an)?an?1[f?(an)?7]， ∴f(cn?2)?(cn?1?2)[f?(cn?2)?7] ∴(c2n?2)?3(cn?2)?10?(cn?1?2)[2(cn?2)?3?7] ∴c2n?3cn?2cncn?1?6cn?1?0 (cn?2cn?1)(cn?3)?0 ∵an?0，∴cn?an?2?0，∴cn?3?0，cn?2cn?1 c1?a1?2?6?2?8，所以数列?cn?是首项为8，公比为2的等比数列，即数列是等比数列.证毕. 另证：∵f(x)?x2?3x?10，∴f?(x)?2x?3 ∵f(an)?a2n?3an?10?(an?5)(an?2)， f?(an)?7?2an?3?7?2(an?5)， 又∵f(an)?an?1[f?(an)?7]. ∴(an?5)(an?2)?2an?1(an?5) ∵an?0，∴an?5?0，∴an?2?2an?1 ∴an?2?2(an?1?2) a1?2?8，所以数列是首项为8，公比为2的等比数列.证毕. (2)∵cn?c1?2n?1?8?2n?1?2n?2?an?2，∴an?2n?2?2，n?N? Sn?a1?a2???an?23?24???2n?2?2n?2n?3?2n?8 （3）∵x?0时，f?(x)?2x?3?0∴f(x)在(0,??)上单调递增. ?8909911?90111??10??10?()2?3??10?f() 900900900303030由bn?f(18909111)??f()，得?，即an?30?a3 an90030an30∵an?0且递增，∴n?3，n的最大值是3. 另解：∵b?f(1118909. )?()2?3()?10??ananan900∴(1219119111)?3()??(?)(?)?0. anan900an30an3019111??0，∴??0，∴an?30 an30an30∴an?0，∴ n?2n?25a?2?2?30a?2?32?2nn∵，∴， ∴n?2?5，∴n?3，n的最大值是3.