因为g?3??? 6?0，g?x2??g?3??0，g?5??12?0， 所以函数g(x)在区间?3,???上只有一个零点．
这与方程x?6x?9x?3?x有两个大于3的相异实根相矛盾，所以假设不成立． 所以函数f(x)在?3,???上不存在“域同区间”．
21．（本小题满分）
（本小题主要考查直线的斜率、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力） （1）解：设双曲线E的半焦距为c，
32?c35,??由题意可得?a 5?c2?a2?4.?解得a?5．
a25?5?（2）证明：由（1）可知，直线x??，点F2?3,0?．设点P?,t?,Q?x0,y0?，
33?3???????????5??QF2?0，所以?3?,?t??因为PF2??3?x0,?y0??0．
3??所以ty0?4?x0?3?． 3x02y0242??1，即y02??x0因为点Q?x0,y0?在双曲线E上，所以?5?． 545所以kPQ?kOQ2y0?ty0y0?ty0 ???5x052x0?x0?x033424x0?5???x0?3??43?5?．
55x02?x034所以直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值．
5
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（3）证法1：设点H?x,y?，且过点P??5?,1?的直线l与双曲线E的右支交于不同两点M?x1,y1?，?3?N?x42,y2?，由（2）知y21?x22?41?5?，y2?x22?5?． ????5?5设PMPN?MHHN??，则???PM???????????PN??????,． ??MH?HN.??即????x1?53,y??5?1?1??????x2?3,y2?1??,
???x?x1,y?y1????x2?x,y2?y?.??x1??x52??1???,①?整理，得?3?y1??y2?1??,②
??x1??x2?x?1???,③??y1??y2?y?1???.④?由①×③，②×④得?x2?1??2x252?3?1??2?x,⑤
??y21??2y22??1??2?y.⑥将y2?45?x22424x21??2x2211?5?，y2?5?x2?5?代入⑥，得y?5?1??2?4．将⑤代入⑦，得y?43x?4． 所以点H恒在定直线4x?3y?12?0上．
证法2：依题意，直线l的斜率k存在． 设直线l的方程为y?1?k??x?5??3??，
???5?由?y?1?k???x?3??,
?x22??5?y4?1.消去y得9?4?5k2?x2?30?5k2?3k?x?25?5k2?6k?9??0．
因为直线l与双曲线E的右支交于不同两点M?x1,y1?，N?x2,y2?，
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⑦
??2222???900?5k?3k??900?4?5k??5k?6k?9??0,?30?5k2?3k??则有?x1?x2? ,29?5k?4???25?5k2?6k?9??.?x1x2?95k2?4???设点H?x,y?，
①
② ③
5PMMH3?x?x1． ?由，得
5x2?x1PNHNx2?3x1?整理得6x1x2??3x?5??x1?x2??10x?0．
150?5k2?6k?9?30?3x?5??5k2?3k?将②③代入上式得??10x?0． 229?5k?4?9?5k?4?整理得?3x?5?k?4x?15?0． ④ 因为点H在直线l上，所以y?1?k?x??． ⑤ 联立④⑤消去k得4x?3y?12?0． 所以点H恒在定直线4x?3y?12?0上．
（本题（3）只要求证明点H恒在定直线4x?3y?12?0上，无需求出x或y的范围．）
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