鹰潭一中2017届考前信息卷
（数学理）答案
第Ⅰ卷
一、选择题：BDCCD,DBADC
二、填空题：11.120,12.600,13.2 14.2 15.A?23,??2??? B，3 3?11．解析：ak?1?ak?1或ak?1?ak??1设有x个1，则有10?x个?1
a11?a1?(a11?a10)?(a10?a9)???(a2?a1)?4?x?(10?x)?(?1)?x?7
7所以这样的数列个数有C10?120
14 【解析】法一: 取AD的中点M,连接OM.则.
OC?OB?(OD?DC)?(OA?AB)?OA?OD?AB?DC?OA?DC?OD?AB ?0?1?OA?AB?OD?AB
?1?AB?(OA?OD)?1?AB?2OM1?1?2OMAB?1?2??1?22法二:设?BAx??,则B(sin??cos?,sin?),C(cos?,sin??cos?),(0????2),
?OC?OB?(cos?,sin??cos?)?(sin??cos?,sin?) ?sin?cos??cos??sin??sin?cos?22
?1?sin2??2三、解答题;本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 16．（本小题12分）
（Ⅱ）y?1?13?cos2B?sin2B?sin(2B?)?1·······7分 226
???B???2? ?2当角B为钝角时，角C为锐角，则? ??B??23?0?2??B???32?5??7?13?11? ?2B??sin(2B?)?(?,)，?y?(,)·····10，? 66622622分
?0?B???当角B为锐角时，角C为钝角，则? ?0?B? ??2?6??B???3?2????11? ??2B??? sin(2B?)?(?,)，
66662213?y?(,)········11分
2213综上，所求函数的值域为(,).··············12分
2217.解：（Ⅰ）设张先生能吃到的鱼的条数为?
，
1 ?????2分 7616张先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，P???6???? ??4分
753511故张先生至少吃掉6条鱼的概率是P???6??P???6??P???7?? ??6分
35张先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，P???7??（Ⅱ）张先生能吃到的鱼的条数?可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天张先生吃掉黑鱼,其概率为
642166418P(??4)???? ???8分 P???5????????10分
7533575335所以?的分布列为(必须写出分布列, 否则扣1分)
?
P
4 5 6 7
16 358 356 351 7????????11分
故E??4?165?86?67?5????5，所求期望值为5. ???????12 35353535218.解:（Ⅰ）（法一）在an?S2n?1中，令n?1，n?2，
22??a?1?S1,?a1?a1,得?2 即? 解得a1?1，d?2, ----2分
2???(a1?d)?3a1?3d,?a2?S3,?an?2n?1．---------------------3分
?bn??Tn?11111??(?)---------------4分 anan?1(2n?1)(2n?1)22n?12n?1111111n(1???????)?---------------6分 23352n?12n?12n?1
（法二）??an?是等差数列，
?a1?a2n?1a?a2n?1?an?S2n?1?1(2n?1)?(2n?1)an． 222由an?S2n?1，得 an?(2n?1)an，
2又?an?0，?an?2n?1，则a1?1,d?2．(Tn求法同法一) （Ⅱ）T1?1mn,Tm?,Tn?， 32m?12n?1m2nm21n)?()，即? 若T1,Tm,Tn成等比数列，则(． 2m?132n?14m2?4m?16n?3m2n3?2m2?4m?1??0 ------------------8法一:由， 可得?224m?4m?16n?3nm分
2即?2m?4m?1?0， ?1?66． --------------------10分 ?m?1?22又m?N，且m?1，所以m?2，此时n?12．
因此，当且仅当m?2， n?12时，数列?Tn?中的T1,Tm,Tn成等比数列．???12分
m21n11?，即2m2?4m?1?0， （法二）因为??，故24m?4m?166n?36?36n?1?66，（以下同上）． ?m?1?22
19.解：（Ⅰ）证明 如图1中，∵在等腰梯形ABCD中，AB＝3，CD＝1，AE＝1，∴DE⊥AB，∴如图2中，DE⊥A1E，DE⊥BE，∴DE⊥平面A1EB，故DE⊥A1B.
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，设EA1与x轴所成的角为θ，
则A1(cos θ，－sin θ，0)，B(0,2,0)，C(0，1，3)，D(0,0，3)， →→∴A1C＝(－cos θ，1＋sin θ，3)，CD＝(0,1,0)， 设平面A1CD的法向量为n1＝(x，y，z)， 平面BCDE的法向量为n2＝(1,0,0)，
→??AC·n＝－xcos θ＋y?1＋sin θ?＋?→??CD·n＝y＝0，
1
11
则
3z＝0，
令z＝1，则n1＝
?3??，0，1?， ?cos θ?
∵cos〈n1，n2〉＝
3
，∴2→
轴上，A1(1,0,0)，A1B＝(－1,2,0)，n1＝(3，0,1)， 设平面A1BC的法向量为n3＝(x，y，z)， →??AB·n＝－x＋2y＝0，则?→??AC·n＝－x＋y＋3z＝0，
1
3
1
3
?3?
???cos θ?
31＋2
cosθ
＝
3
，解得cos 2θ＝1，即θ＝0，此时点A1在x2
令y＝1，得n3＝?2，1，
??3??. 3?
n1·n37
故cos〈n1，n3〉＝＝.
|n1|·|n3|8
7
结合图形，可得二面角BA1CD为钝角，故二面角的余弦值为－. 820.解: （Ⅰ）设P(x0,y0)，∵OP?分
又PF1?PF2?分
7722,?x0?y0? ① ??1
42333222,?(?c?x0,?y0)(c?x0,?y0)?，即x0?c?y0?② ??2444
x22①代入②得：c?1. 又e?.?a?2,b?1故所求椭圆方程为?y2?1 ??5
22分
（Ⅱ）假设存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点。
当AB?x轴时，以AB为直径的圆的方程为：x2?y2?1 ?????③ 当AB?y轴时，以AB为直径的圆的方程为：x?(y?)?由③，④知定点M?0,1?
下证：以AB为直径的圆恒过定点M?0,1?。
213216 ????④ 9x21416?y2?1，有(2k2?1)x2?kx??0. 设直线l:y?kx?，代入
33924k?16,xx?设A(x1,y1)、B(x2,y2)，则x1?x2?. ??8123(2k2?1)9(2k2?1)分
则MA??x1,y1?1?,MB??x2,y2?1?，
4??4??MA?MB?x1x2??y1?1??y2?1??x1x2??kx1???kx2??
3??3??416??1?k2?x1x2?k?x1?x2??39
?1644k16??1?k2??k??09?2k2?1?33?2k2?1?9?在y轴上存在定点M(1,0),使以AB为直径的圆恒过这个定点. ?13分
1x?m. 由f?(0)?0，得m??1，此时f?(x)??21.解：（Ⅰ）f?(x)?. x?1x?1当x?(?1,0)时，f?(x)?0，函数f(x)在区间(?1,0)上单调递增； 当x?(0,??)时，f?(x)?0，函数f(x)在区间(0,??)上单调递减.
?函数f(x)在x?0处取得极大值，故m??1.??????????3分
f(x1)?f(x2)（Ⅱ）令h(x)?f(x)?g(x)?f(x)?(x?x1)?f(x1)，???4分
x1?x2f(x1)?f(x2)则h?(x)?f?(x)?.
x1?x2f(x1)?f(x2)函数f(x)在x?(x1,x2)上可导，?存在x0?(x1,x2)，使得f?(x0)?.
x1?x21x0?x11?1?h?(x)?f?(x)?f?(x0)?又f?(x)? ??x?1x?1x0?1(x?1)(x0?1)当x?(x1,x0)时，h?(x)?0，h(x)单调递增，?h(x)?h(x1)?0； 当x?(x0,x2)时，h?(x)?0，h(x)单调递减，?h(x)?h(x2)?0； 故对任意x?(x1,x2)，都有f(x)?g(x).??????????8分
（Ⅲ）用数学归纳法证明.
①当n?2时，Q?1??2?1，且?1?0，?2?0，
??1x1??2x2?(x1,x2)，?由（Ⅱ）得f(x)?g(x)，即
f(x1)?f(x2)f(?1x1??2x2)?(?1x1??2x2?x1)?f(x1)??1f(x1)??2f(x2)，
x1?x2?当n?2时，结论成立.??????????9分
②假设当n?k(k?2)时结论成立，即当?1??2??3????k?1,时，
设f??1x1??2x2????kxk???1f?x1???2f?x2?????kf?xk?. 当n?k?1时，
正数?1,?2,?,?k?1,满足?1??2??3????k?1?1,令m??1??2??3????k，
????1?1,?2?2,?,?k?k,
mmm则m??k?1?1，且?1??2????k?1.
f??1x1??2x2????kxk??k?1xk?1??f?m??1x1??2x2????kxk???k?1xk?1?
?mf??1x1??2x2????kxk???k?1f(xk?1)?m?1f?x1??m?2f?x2????m?kf?xk???k?1f?xk?1? ??1f?x1???2f?x2?????kf?xk???k?1f?xk?11? ????13分
?当n?k?1时，结论也成立.
综上由①②，对任意n?2，n?N，结论恒成立. ????????14分