////∵PMCN，∴MNPC，从而MN?平面ABC
??作NH?AC，交AC的延长线于H，连结MH，则由三垂线定理知，AC?NH， 从而?MHN为二面角M?AC?B的平面角
0直线AM与直线PC所成的角为60
0∴?AMN?60
在?ACN中，由余弦定理得AN?AC2?CN2?2AC?CN?cos1200?3 3?1 333在?CNH中，NH?CN?sin?NCH?1? ?22MN123
在?MNH中，MN?tan?MHN???NH33223故二面角M?AC?B的平面角大小为arctan
3（Ⅲ）由（Ⅱ）知，PCMN为正方形
在?AMN中，MN?AN?cot?AMN?3?∴VP?MAC?VA?PCM?VA?MNC?VM?ACN?113?AC?CN?sin1200?MN? 3212解法二：（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在平面ABC内，过C作CD?CB，建立空间直角坐标系C?xyz（如图）
31?，设P?0,0,z??z?0?， 由题意有A?00??2,?2,0??????则M?0,1,z0?,AM??3,?1,z0?,CP??0,0,z0?
?2?2??由直线AM与直线PC所成的解为60，得
2AM?CP?AM?CP?cos600，即z0?0?2z02?3?z0，解得z0?1
??∴CM??0,0,1?,CA??3,?1,0?，设平面MAC的一个法向量为n??x1,y1,z1?，
?22????y1?z1?0?则?3，取x1?1，得n?1,3,?3 1y1?z1?0??22平面ABC的法向量取为m??0,0,1?
??设m与n所成的角为?，则cos??m?nm?n??3 721 7显然，二面角M?AC?B的平面角为锐角， 故二面角M?AC?B的平面角大小为arccos（Ⅲ）取平面PCM的法向量取为n1??1,0,0?，则点A到平面PCM的距离h?CA?n1n1?3 2
∵PC?1,PM?1，∴VP?MAC?VA?PCM??11133?PC?PM?h??1?1?? 326212
（20）本题主要考察直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合应用数学知识解决问题及推理计算能力。
解：（Ⅰ）解法一：易知a?2,b?1,c?3 所以F1?3,0,F2x2123?x,?y?x?y?3?x?1??3?3x?8? ?1244?2 因为x???2,2?，故当x?0，即点P为椭圆短轴端点时，PF1?PF2有最小值
?PF?PF???3?x,?y?,????3,0，设P?x,y?，则
?2221当x??2，即点P为椭圆长轴端点时，PF1?PF2有最大值
解法二：易知a?2,b?1,c?3，所以F1?3,0,F2???23,0，设P?x,y?，则
22?PF1?PF2?PF1?PF2?cos?F1PF2?PF1?PF2??1?x?3?2?PF1?PF2?F1F22PF1?PF2
?y2?12??x2?y2?3（以下同解法一）
??（Ⅱ）显然直线x?0不满足题设条件，可设直线l:y?kx?2,A?x1,y2?,B?x2,y2?，
?y2?x?3??2??2?y?kx?2??21?2y联立?x2，消去，整理得：?k??x?4kx?3?0 24????y?1?44k3∴x1?x2?? ,x1?x2?11k2?k2?4431?32?2由???4k??4?k???3?4k?3?0得：k?或k??
224??00又0??A0B?90?cos?A0B?0?OA?OB?0 ∴OA?OB?x1x2?y1y2?0
?k2?1?8k2??4?又y1y2??kx1?2??kx2?2??kx1x2?2k?x1?x2??4?
111222k?k?k?4443?k2?1??0，即k2?4 ∴?2?k?2 ∵
11k2?k2?4433?k?2 故由①、②得?2?k??或
2223k2
（21）本题综合考察数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力。
?x??2x
'所以过曲线上点?x0,f?x0??的切线方程为y?f?xn??f?xn??x?xn?，
解：（Ⅰ）由题可得f'
即y??xn?4??2xn?x?xn?
2令y?0，得?xn?4?2xn?xn?1?xn?，即xn2?4?2xnxn?1
??显然xn?0 ∴xn?1?xn2? 2xnx12??x1，而x1?0，∴x12?4，即有x1?2 2x1（Ⅱ）证明：（必要性）
若对一切正整数n,xn?1?xn，则x2?x1，即（充分性）若x1?2?0，由xn?1?xn2? 2xn用数学归纳法易得xn?0，从而xn?1?又x1?2 ∴xn?2?n?2?
xn2x2??2n??2?n?1?，即xn?2?n?2? 2xn2xnxn24?xn2?2?xn??2?xn?于是xn?1?xn???xn???0，
2xn2xn2xn即xn?1?xn对一切正整数n成立
?xn?2??xn?2?x2（Ⅲ）由xn?1?n?，知xn?1?2?，同理，xn?1?2?
2xn2xn2xnx?2?xn?2???故n?1?
xn?1?2?xn?2?x?2x?2从而lgn?1，即an?1?2an ?2lgnxn?1?2xn?2所以，数列?an?成等比数列，故an?2即lgn?1222a1?2n?1lgx1?2?2n?1lg3， x1?2xn?2x?2?2n?1lg3，从而n?32n?1 xn?2xn?2所以xn?2?32n?1?1?32n?1?1
（22）本题考察函数、不等式、导数、二项式定理、组合数计算公式等内容和数学思想方法。考查综合推理论证与分析解决问题的能力及创新意识。
2035?1?（Ⅰ）解：展开式中二项式系数最大的项是第4项，这项是C61???3
?n?n?1??1?（Ⅱ）证法一：因f?2x??f?2???1????1??
?n??n??1??1??1??2?1????1???2?1???n??n??n?nn2n232n2n?1??1???1???2?1??
?n??n?n?1??1??1??1??2?1??ln?1???2?1??ln?1???2f'?x?
?n??2??n??n?
?1??1??1??1??1?证法二：因f?2x??f?2???1????1???2?1????1???2?1???n??n??n??n??n?n2n22n2n?1???1?? ?n??1??1?而2f'?x??2?1??ln?1??
?n??n??1??1?故只需对?1??和ln?1??进行比较。
?n??n?1x?1'令g?x??x?lnx?x?1?，有g?x??1??
xxx?1?0，得x?1 由x因为当0?x?1时，g'?x??0，g?x?单调递减；当1?x???时，g'?x??0，g?x?单调递增，所
以在x?1处g?x?有极小值1 故当x?1时，g?x??g?1??1，
从而有x?lnx?1，亦即x?lnx?1?lnx
?1??1??ln??1??恒成立。
?n??n?所以f?2x??f?2??2f'?x?，原不等式成立。 （Ⅲ）对m?N，且m?1
故有?1??1?01?1?2?1?k?1?m?1?有?1???Cm?Cm??C??C??Cm?m?m?????? ?m??m??m??m??m?2kmm?m?1??1?m?m?1??m?k?1??1?m?m?1?2?1?1??1?1????????????
2!?m?k!mm!???m?1?1?1?1??2??k?1?1?1??m?1??2??1?????1???1???1???1?????1??
2!?m?k!?m??m??m?m!?m??m?1111?2??????
2!3!k!m!1111 ?2??????2?13?2k?k?1?m?m?1??1??11??2??1????????2??23?1?3??3
mkm2km1??1??????k?1k?1??1???? ?m?1m?k?1?又因Cm???0?k?2,3,4,?m??1?,m?，故2??1???3
?m?kmn?1??1?∵2??1???3，从而有2n???1???3n成立，
k??m?k?1?m?1?即存在a?2，使得2n???1???3n恒成立。
k?k?1?
nk