广东省珠海一中等六校2013届高三下学期5月高考模拟考
试数学（理）试题（含答案）
本试卷共21小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共8小题，每题5分，满分40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．满足i3?z?1?3i的复数z的共轭复数是（ ） ．．．．A．?3?i
2．已知函数f(x)?B．?3?i
C．3?i
D．3?i
1的定义域为M，g(x)?ln(1?x)的定义域为N，则1?xB．?x|x?1?
C．?x|?1?x?1? D．?
M?N?（ ）
A．?x|x??1?
3．如图给出的是计算1?填入（ ）
A．i?i?1 C．i?i?2
111????的值的一个程序框图，图中空白执行框内应352013B．i?i?1 D．i?i?2
开 始 ?2x?y≤40，?
??x?2y≤30，
4．若变量x，y满足?则
?x≥0，?y≥0，?
z??x?3y的最大值是（ ）
A．90 C．50
B．80 D．40
i=1, S=0 否 i?2013 是 S=S+输出S 结 束 1 i5．记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1?1，2 第4题图
S2?2，则S4? （ ）
A．2 C．16
B．6 D．20
6． 已知直线l1:y?4x，l2:y??4x，过M(,2)的直线l与l1,l2分别交于A,B，若M是线段AB的中点，则|AB|等于（ ）
A．12
B．145
C．146 D．147
327．已知某四棱锥的三视图，如右图。则此四棱锥的体积为（ ） A．3
B．4
C．5
D．6
28．设x?0，y?0，定义x?y?于（ ）
xx2?y2，则??x?y?+2?x?y??y?x???max等
?1?5A．
22?3C．
23?2B．
21?3D．
2224正视图2侧视图二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分）
（一）必做题（第9至13题为必做题，每道试题考生都必须作答）
22俯视图9．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表．已知在全校 学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0．19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为 ．
一年级
373 女生
377 男生
二年级 x 370 三年级 y z x?1?x?2，?2e，10．若f(x)??则f(f(2))的值为 . 2x?2.??log3(x?1)，11．曲线y?x3?ax?3在点（1，m）处的切线方程为y?2x?n，则
mn，为常数） （a，a? ．
??12．已知f(x)?2sin(x??)(|?|?)，若x?1是
32它一条对称轴，则 ?? ．
????????AB?2AD＝AC＝4AE＝4，则BE?CD? ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
13．如右图，等边△ABC中，
??x?4cos?14．（坐标系与参数方程选做题）曲线?（?为参数）上一点P到点
??y?23sin?A??2，0?与B?2，0?的距离之和为 ．
15．（几何证明选讲选做题）如右图，在Rt△ABC中，斜边AB?12，直角边AC?6，如果以C为圆心的圆与AB相切于D，则⊙C的半径长为 ．
三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
16．（本小题满分12分）已知函数
f(x)?31sin2x?cos2x?，x?R． 22（1）求函数f(x)的最小值和最小正周期；
（2）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c且c?3，f(C)?0，若
sinB?2sinA，求a,b的值。
17．（本小题满分12分）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物。我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．
某试点城市环保局从该市市区2011年全年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）
（1）从这15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，求恰有一天空气质量达到一级的概率；
（2）从这15天的数据中任取三天数据，记?表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求?的分布列；
（3）以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况，则一年（按360天计算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级。
18．（本小题满分14分）在如图所示的几何体中，?ABC是边长为2的正三角形，
E
AE?1，AE?平面ABC，平面BCD?平面ABC，
BD=CD，且BD?CD．
（1）若AE=2，求证：AC∥平面BDE； （2）若二面角A—DE—B为60°．求AE的长。 19．（本小题满分14分）数列{an}的前n项和为Sn，Sn?an??C
D A
B
123n?n?1，(n?N*)． 22（1）设bn?an?n，证明：数列?bn?是等比数列； （2）求数列?nbn?的前n项和Tn；
n20132c?c?11??（3）若cn????an，P??i2i．求不超过P的最大整数的值。 c?ci?1?2?ii
20．（本小题满分14分）如图所示：已知过抛物线x2?4y的焦点F的直线l与抛物线相交于A，B两点。
（1）求证：以AF为直径的圆与x轴相切； （2）设抛物线x2?4y在A，B两点处的切线的交点为M，若点M的横坐标为2，求△ABM的外接圆方程；
（3）设过抛物线x2?4y焦点F的直线l与椭圆
3y23x2??1的交点为C、D，是否存在直线l使得42AF?CF?BF?DF，若存在，求出直线l的方程，若
不存在，请说明理由。
21．（本小题满分14分）已知函数f(x)?lnx，g(x)?k?（1）求函数F(x)?f(x)?g(x)的单调区间；
（2）当x?1时，函数f(x)?g(x)恒成立，求实数k的取值范围； （3）设正实数a1,a2,?,an满足a1?a2???an?1．求证：
x?1 x?1???1?1?1?2n2． ln?1?2??ln?1?2????ln?1?2???a1??a2??an?n?2
2013届高三六校高考模拟考试
理科数学参考答案
一、选择题
题号 答案 1 D 2 C 3 D 4 C 5 D 6 B 7 B 8 A 1．【解析】z?1?3i??1?3i?i=3+i．故选D． 3i2．【解析】M?xx?1，N?xx??1．故选C．
3．【解析】因为分母为1，3，5，7，9，…，2013，所以应填入i?i?2．故选D． 4．【解析】画出可行域（如图），在B(10,20)点取最大值zmax??10?3?20?50．答案： C．
????1(1?q2)?2?1?q?3?q?3， 5．【解析】S2?21?q11(1?q4)(1?q2)S4?2?2?(1?q2)?2?10?20．故
1?q1?q选D ．
6．【
解
析
】
设
A(x1，4x1)、
?x1?x2???2B(x2，?4x2)???4x1?4x2??23，2?x1?2，8)、B(1，?4)． ，所以A(2，???x2?1，?2，22所以AB=(2?1)?[8?(?4)]?1?144?145．故选B．
7．【解析】如图，四棱锥A?BCDE．
1?6?2?4．故选B． 3y)的角?（不妨8．【解析】设终边过点(x，V?设??(0，)）则
DC?EB2cos2??2sin?cos??1?cos2?A?sin2? 211111其中?是终边过(1，)的角（不?sin2??cos2???1?()2sin(2???)?，
22222妨设??(0，)）．
?2当?????2时，有??x?y?+2?x?y?2??y?x???max?1?5．故选A． 2二、填空题（本大题共7小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分30分） 9．16，10．2，11．?1，12．
?，13．?3，14．8，15．33， 69．【解析】依题意我们知道二年级的女生有380人，那么三年级的学生的人数应该是500，即总体中各个年级的人数比例为3:3:2，故在分层抽样中应在三年级抽取的学生人数为64?2?16．答案：16． 81?110．【解析】f(f(2))?f(1)?2?e?2．答案：2．
11．【解析】
y??3x2?a?2?3?12?a?a??1．答案：?1．
??k?Z，由12．【解析】由已知得x???k??，32