x?1代入得??k??又|?|??6，k?Z，
?26????????????????1????13．【解析】BE?BA?AE??AB?AC,
4????????????????1????CD?CA?AD??AC?AB
2????????????1????????1????BE?CD?(?AB?AC)?(?AC?AB)42
????????????????22911911?AB?AC?AB?AC??4?4cos?A??42??42?9?8?4??3． 824824答案：?3．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．【解析】曲线?，所以???．答案：
?． 6??x?4cos?表示的椭圆标准方程为
??y?23sin?x2y2??1，可知点A??2,0?，B?2,0?为椭圆的焦点，故1612PA?PB?2a?8．答案：8．
D则?B??DCA?30，15．【解析】连C，在Rt?ADC中，
CD?ACsin?DAC,
CD?6?3?33．答案：33． 20三、解答题（本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）
31?cos2x1?sin2x???sin(2x?)?1，…3分 22262???；…………6分 则f(x)的最小值是?2， 最小正周期是T?2??（2）f(C)?sin(2C?)?1?0，则sin(2C?)?1?0，…………7分
66??11?0?C??,0?2C?2?,所以??2C??，
666???所以2C??，C?，…………9分
623因为sinB?2sinA，所以由正弦定理得b?2a，……①…………10分
?222222由余弦定理得c?a?b?2abcos，即c?a?b?ab?3……②………11分
3由①②解得：a?1，b?2．…………12分
16．【解析】（1）f(x)? 17．【解析】（1）记“从15天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气
12C5?C1045质量达到一级”为事件A，P(A)?． ……………………4分 ?3C1591?服从超几何分布：?的可能值为0,1,2,3，（2）依据条件，其中N?15,M?5,n?3，
k3?kC5C10其分布列为：P???k???k?0,1,2,3?……………………7分 3C15
? P 0 1 2 3 24 9145 9120 912 91……………………7分
（3）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P?一年中空气质量达到一级或二级的天数为?，则?~B(360,)
102?，10分 153232?240，?一年中平均有240天的空气质量达到一级或二级。12分 318．【解析】（1）分别取BC，BA，BE 的中点M，N，P,连接
1DM，MN，NP，DP,则MN∥AC,NP∥AE,且NP=AE?1，
2因为BD?CD，BC?2,M为BC的中点， 所以DM?BC,DM?1， 又因为平面BCD⊥平面
E
ABC，
DM?平面所以
ABC．……………3分
又AE?平面ABC,
P
所以DM∥AE，……5分
D
所以DM∥NP，且DM?N,因P此四边形DMNP?E??360?为平行四边形，
所以MN∥DP，所以AC∥DP，又AC?平面BDE，DP?平面BDE，
所以AC∥平面BDE.…7分 （或者建立空间直角坐标系，求出平面BDE的法向量n1，计算
A
N E
C
M B
????n1?AC?0即证）
（2）解法一:
过M作MH垂直ED的延长线于H,连接BH.
因为BC?AM,BC?DM,
BC?所以平面
DM,ED?平面DMAE
则有BC?ED.
ED?所以平面
BMH,BH?平面BMH,
所以ED?BH.
所以?MHB为二面角
D
H A
C
M B
A?ED?B的平面角，
即?MHB=60?. ……10分
在Rt?BMH中，BM=1，则MH=在Rt?MHD中，DH=12 ,BH=.
336. 3h2?3?6，又BE?32设AE?h?1，则DE?h2?3,所以HE??h?1?2?22 ?26?22222?2?在Rt?BHE中,BE?BH?NE,即?h?1??2=?， ?h?3??????3??3??解得h?6，所以AE?6?1． ………………14分
解法二:
由（1）知DM?平面ABC，AM?MB, 建立如图所示的空间直角坐标系M?xyz. 设AE?h，则M?0，，00?,B?1，，00?,
20,E0，3，h， D?0，，01?A0，3，????????h. BD???1，，01?,BE??1，3，???设平面BDE的法向量n1?(x,y,z)
???????????x?z?0，?BD?n1?0,则????所以? ????????x?3y?zh?0.?BE?n1?0,???1?h令x?1, 所以n1?(1,,1) ，
3??????z E y D A ……………………11分
??? 又平面ADE的法向量n2?(1,0,0)， ??????C ??????M(o) n1?n211?， ????所以cos?n1,n2?????22n1?n21?h??221?1?3解得h?6?1， 即AE?6?1．……………………14分
B
x
3n?1， 21所以 ① 当n?1时，2a1??1，则a1??，………………………………1分
213② 当n≥2时，an?1?Sn?1??(n?1)2?(n?1)?1，……………………2分
22所以2an?an?1??n?1，即2(an?n)?an?1?n?1，
11所以bn?bn?1(n≥2)，而b1?a1?1?，……………………4分
2219．【解析】(1) 因为an?Sn??n2?1211?1?所以数列?bn?是首项为，公比为的等比数列，所以bn???．……………5分
22?2?n（2）由(1)得nbn?所以 ①Tn?n． n21234n?1n?2?3?4?..........?n?1?n， 222222234n?1n②2Tn?1??2?3?..........?n?2?n?1，……………7分
22222111n②-①得：Tn?1??2?......?n?1?n，……………8分
2222n?1?1????2??n?2?n?2.………………10分
Tn?12n2n1?2n?1?（3）由(1)知an????n ?cn?n………………11分
?2?cn2?cn?1n(n?1)?1111，………13分 ?2??1??1??n(n?1)n(n?1)nn?1cn?cnci2?ci?1所以P??ci2?ci i?1111111111， ?(1??)?(1??)?(1??)???(1??)?2014?122334201320142014故不超过P的最大整数为2013．……………………………………………14分
2013 20．【解析】（1）解法一（几何法）设线段AF中点为O1，过O1作O1O2垂直于x轴，垂足为O2,则
P|AF|2?|AA1|?1?|AA1|?|OF| ，…………… 2分 r??2222|AA1|?|OF|又∵|O1O2|?， …………… 3分
2 ∴r?|O1O2|∴以线段AF为直径的圆与x轴相切。……………4分
解法二（代数法）设A(x1,y1),线段AF中点为O1，过O1作O1O2垂直于x轴，
|AA1|?垂足为O2，则|AF|?∴r?x1?(y1?1)2?4y1?(y1?1)2?y1?1，
2y1?1． ……………2分 2又∵点O1为线段AF的中点，∴|O1O2|?yA?yFy?1?1，……………3分 22∴r?|O1O2|，
∴以线段AF为直径的圆与x轴相切。……………4分
（2）设直线AB的方程为y?kx?1，A(x1,y1),B(x2,y2)，
?y?kx?1由?2?x2?4kx?4?0 ， ?x?4y?x1?x2?4k∴?．……………5分
xx??4?12x2x2?y??， 由x?4y?y?42xxxx?4?KMA?KMB?1?2?12???1， ?MA?MB……………6分
2244??MAB为Rt?，故?MAB的外接圆圆心为线段AB的中点。
设线段AB中点为点P，易证⊙P与抛物线的准线相切，切点为点M ，
?xP?xM?2，?x1?x2?2?2k?2，?k?1．……7分 2y?y(kx?1)?(kx2?1)x1?x2?24k?2?yP?12?1???3?圆心P(2,3)8分
2222
又?r?|MP|?|3?(?1)|?4，
?所求?MAB的外接圆的方程为:(x?2)2?(y?3)2?16 ．……………9分
|AF||DF||AF||DF||AF|?|CF|?|BF|?|DF|，?????，10分 （3）?，设
|BF||CF||BF||CF|则AF??FB 且DF??FC ，设C(x3,y3)，D(x4,y4)，则
?(?x1,1?y1)??(x2,y2?1)??x1??x2?x1???x2 ?? ……………11分 即??(?x,1?y)??(x,y?1)?x??xx???x43333?4?4?4?x1?x2?4k?1将x1???x2代入?可得： ． ①……………12分 ?22xx??4(??1)4k?122k??y?kx?1x?x????2?34k2?2222?(3k?6)x?6kx?1?0??由?4y， 2x??1??xx??1334?3?3k2?6??3k2?6联立x4???x3可得，②……………13分 ?(??1)236k213k2?62?k?1 ?k??1． 联立①②可得 ，解得224k36k?存在符合题意的直线且所求直线方程为:y??x?1。 ……………14分
x?121．【解析】（1）F(x)?lnx?k?
x?112x2?2(1?k)x?1 ，…… 1分 F(x)??k??x(x?1)2x(x?1)2222由x?2(1?k)x?1?0的判别式??4(1?k)?4?4(k?2k)，
①当??0即k??0,2?时，F?(x)?0恒成立，则F(x)在(0,??)单调递增；…2分 ②当k?0时，F?(x)?0在(0,??)恒成立，则F(x)在(0,??)单调递增； …3分
③
当
k?2时，方程
x2?2(?1kx?)的?1两0正
根为
k?1?k2?2k,k?1?k2?2k
则F(x)在(0,k?1?k2?2k)单调递增，(k?1?k2?2k,k?1?k2?2k)单调递
减，(k?1?k2?2k,??)单调递增．
综上，当k?2时，只有单调递增区间；
当k?2时，单调递增区间为(0,k?1?k2?2k)，(k?1?k2?2k,??)； 单调递减区间为(k?1?k2?2k,k?1?k2?2k)． …… 5分 （2）即x?1时，F(x)?0恒成立． 当k?2时，F(x)在(0,??)单调递增，
∴当x?1时，F(x)?F(1)?0满足条件． …7分
当k?2时，F(x)在(k?1?k2?2k,k?1?k2?2k)单调递减， 则F(x)在(1,k?1?k2?2k)单调递减， 此时F(x)?F(1)?0不满足条件，
故实数k的取值范围为???，2?． …… 9分
x?1在(1,??)恒成立， x?11an21221令x?1?2 ，则 ln(1?2)?2? ， …… 10分??21an2a?12a?1annn2?2an（3）由（2）知，lnx?2?1111)?2(????)． …… 11分 2ai2a1?12a2?12an?1i?1111又(????)?(2a1?1)?(2a2?1)???(2an?1)??n2，
2a1?12a2?12an?1∴
?ln(1?n1112n2∴2( ， ……13分 ????)?2a1?12a2?12an?1n?212n2∴?ln(1?2)? ． ……14分
ain?2i?1n