⒙⑴连接AC，则AC?AB2?BC2?2?AB?BC?cos?ABC?23??1分
（方法一）PA?底面ABCD，所以PA?AB，PA?AC??2分
PB?PA2?AB2?5，PC?PA2?AC2?21??3分
PB2?PC2?BC2，所以?PCB?900，BC?PC??4分
因为AD//BC，所以AD?PC??5分
2220（方法二）CD?AD?AC，所以?CAD?90，AD?AC??2分
PA?底面ABCD，所以PA?AD??3分
因为PA?AC?A，所以AD?平面PAC??4分 因为PC?平面PAC，所以AD?PC??5分
⑵（方法一）过C作CF?AB于F，则CF?平面PAB??6分 连接PF，由⑴知PC?平面ADE当且仅当PC?AE??7分 又CF?AE，所以AE?平面PCF??8分，AE?PF??9分 依题意，BF?1BC?1，所以AF?3，AF?PA??10分，AE是?PAF的平2分线，从而也是?PAB的平分线??11分
在?PAE和?ABE中，
PEPABEAB??，??12分
sin?PAEsin?PEAsin?BAEsin?BEA所以
PEPA3PE33????13分，?，即所求?的值为??14分． BEAB4PB77（方法二）在平面ABCD内过点A作AF?CD，以A为原点，AF、AB、AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系??6分
则A(0 , 0 , 0)，B(0 , 4 , 0)，P(0 , 0 , 3)??7分，C(3 , 3 , 0)??8分 设E(a , b , c)，由PE??PB得，(a , b , c?3)??(0 , 4 , ?3)??9分 解得a?0，b?4?，c?3?3???10分
由⑴知PC?平面ADE当且仅当PC?AE??11分，即PC?AE?0??12分 所以(3 , 3 , ?3)?(0 , 4? , 3?3?)?3?4??3(3?3?)?0??13分 解得??3??14分． 7（方法三）过E作EF//BC，交PC于F，连接DF，则平面ADE即平面ADFE ??6分，由⑴知PC?平面ADE当且仅当PC?DF??7分
PC2?PD2?CD29由⑴及余弦定理得 cos?CPD???9分 ?2?PC?PD13?219所以PF?PD?cos?CPD???12分
21PF?PC
⒚⑴由an?1?921?21?PEPF33????14分．??13分，又EF//BC，所以?? PBPC772an111111，得????1分，????2分
an?1an2an?1an22?an?1?11
所以??是首项?1，公差d?的等差数列??3分
2an?an?21n?1n?1???4分，所以?n?N，an???5分 ?1??n?1an22⑵（方法一）an?222444????6分，??7分 ??222nn?2(n?1)n?2n?1n?2nn?4时，由以上不等式得
22222222222a?(?)?(?)?(?)???(?)?(?)??9分 ?i132435n?1n?1nn?2i?1?2222?????10分，?3??11分 12n?1n?2nn?n2?2?因为??ai?是递增数列，所以?n?N，?an?3??12分．
i?1?i?1?（方法二）an?24444????6分，??7分 ?2nn?2n(n?1)(n?1)n?2时，由以上不等式得
?ai?1n2i4444442?1??ai?1?(?)?(?)???(?)??9分
2334nn?1i?2n?1?44???10分，?3??11分 2n?1n?n2?2?因为??ai?是递增数列，所以?n?N，?an?3??12分．
i?1?i?1?⒛⑴椭圆?的焦距2c1?|F1F2|?2??1分
长轴2a1?|MF1|?|MF2|?22?93??4??4分 42x2y2??1??6分 椭圆?的短轴2b1?23??5分，所以椭圆?的方程为43c2|FN|2b2?1??7分，|FN|?⑵设双曲线?焦距为2c，依题意，2???8分 2aab3b2（方法一）N(c , )??9分，直线OM的方程为y?x??10分
2a13b23c2?a23O、M、N共线，所以???12分，e??，?c??11分，即
e2ac2a22e2?3e?2?0??13分，解得双曲线?的离心率e?2（e??（方法二）依题意，?OF2M～?OFN??9分，
1舍去）??14分． 2|F2M||FN|??10分 ?|OF2||OF|133b2c2?a23e??，???12分，2e2?3e?2?0??所以???11分，即
e2ac22ac13分，解得双曲线?的离心率e?2（e??
1舍去）??14分． 221．⑴f(x)?2x?a(1?2分，由2x?a(1?/1)??1分，直线y?(a?1)(2x?1)的斜率k?2(a?1)??x1)?2(a?1)，取x?1??3分 xf/(1)?2a?2，曲线y?f(x)在点(1 , f(1))的切线为y?f(1)?(2a?2)(x?1)，
即y?(a?1)(2x?1)，所以y?(a?1)(2x?1)是曲线y?f(x)的一条切线??4分
⑵直接计算知
f(e)?f(1)a??5分 ?e?1?a?e?1e?1f(e)?f(1)aa?2x?(e?1)????6分
e?1xe?1设函数g(x)?f/(x)?aa(e?2)?(e?1)2??7分 g(1)?1?e?a??e?1e?1aae(e?1)2?a??8分 g(e)?e?1???ee?1e(e?1)(e?1)2[a(e?2)?(e?1)2][a?e(e?1)2]当a?e(e?1)或a?时，g(1)g(e)?? 2e?2e(e?1)2?0??10分，因为y?g(x)的图象是一条连续不断的曲线，所以存在??(1 , e)，使g(?)?0，即??(1 , e)，使f/(?)?f(e)?f(1)??11分；
e?1(e?1)2?a?e(e?1)2时，g(1)、g(e)?0，而且g(1)、g(e)之中至少一个为当
e?2a?e2?1正??12分，由均值不等式知，，等号当且仅当x?g(x)?22a?e?1a?(1 , e)2a?e2?1?a?2(e?1)2a?(e2?1)时成立，所以g(x)有最小值m?22a?，且?e?1e?1?a?2(e?1)2a?(e2?1)?[a?2(e?1)]2?(e?1)(e?3)m???0??13分，
e?1e?1此时存在??(1 , e)（??(1 , /存在??(1 , e)，使f(?)?aa)或??( , e)），使g(?)?0。综上所述，?a?R，22f(e)?f(1)??14分．
e?1