?3cos2x?sin2x ?2sin(2x?T???7 分
（Ⅱ）因为0?x?所以
?3)
2???． ?????2?2，
?3?2x??3??4?． 3，即x?所以 当2x?当
?3?2??12时，ymax?2；
即
2x??34?3，
x??2时，
ymin??3． ???????13分
所以当x?
16. 解：（Ⅰ）估计全市学生参加汉字听写考试的平均成绩为：
?12时，函数有最大值是2；当x??2时，函数有最小值是?3．
0.1?55?0.2?65?0.3?75?0.25?85?0.15?95?76.5． ??????2
分
（Ⅱ）设被抽到的这名同学考试成绩在80分以上为事件A．
P(A)?0.025?10?0.015?10?0.4
答：被抽到的这名同学考试成绩在80分以上的概率为0.4． ?????6分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从参加考试的同学中随机抽取1名同学的成绩在80分以上的概
率为
2， 5X可能的取值是0，1，2，3．
2327； P(X?0)?C30()0()3?551255412132； P(X?1)?C3()()?551252336； P(X?2)?C32()2()1?55125832330． P(X?3)?C3()()?55125X的分布列为： 0 1 2 3 X 橡皮网 - 正确地成长（www.xiangpi.com）
P 27 12554 12536 1258 125 ?????12分
所以
E(X)?0?27543686?1??2??3??． ?????13分 1251251251255226（或X~B(3,)，所以E(X)?np?3??．）
555P
17. 证明：（Ⅰ）连结AC．
因为在△ABC中，
AB= AC=2，BC?22， 所以 BC2?AB2?AC2，
所以 AB?AC． 因为AB∥CD，
所以AC?CD． 又因为 PA?底面ABCD， 所以 PA?CD． 因为 AC?PA?A，
MABNCD所以 CD⊥
PAC． ??????4分
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系，
平面
则A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2,0)，D(?2,2,0)． 因为 M是棱PD的中点，
Pz所以 M(?1,1,1)．
所以 AM?(?1,1,1)，AB?(2,0,0)． 设n?(x,y,z)为平面MAB的法向量，
MABxNCyD??n?AM?0所以?，
??n?AB?0??x?y?z?0即 ?，
?2x?0?x?0?令 y?1，则 ?y?1，
?z??1?所以平面MAB的法向量n?(0,1,-1)．
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因为 PA⊥平面ABCD，
所以 AP?(0,0,2)是平面ABC的一个法向量． 所以 cos?n,AP??n?APAPn??22． ??22?2的
大
小
为
因为二面角M-AB-C 为锐二面角，
所以二面角M-AB-C
?4． ??????10分
（Ⅲ）因为N是在棱AB上一点，所以设N(x,0,0)，NC?(?x,2,0)．
设直线CN与平面MAB所成角为?， 因为平面MAB的法向量n?(0,1,-1)， 所以sin??cos(zP?2??)?2n?NCn?NC?
M?2?x2?4，
10． 5xABNCyD
解
得
x?1即
AN?1，
NB?1，所以
AN?1． ??????14分 NB
18. 解：（Ⅰ）函数的定义域为R． 因为 f(x)?x?e?x?1，
ex?1所以 f?(x)?． xe令f?(x)?0，则x?0．
x (??,0) - ↘ 以
当
0 0 极小值 (0,??) + ↗ 函
数
有
极
小
值
f?(x) f(x) 所
x?0时
f(x)极小值=f(0)?0． ??????6分
（Ⅱ）函数f(x)?x?1?1． xe橡皮网 - 正确地成长（www.xiangpi.com）
当x?0时f(x)?0?1?1?0，y?k?0?1??1， 0e所以要使y?kx?1与f(x)无交点，等价于f(x)?kx?1恒成立．
1?(kx?1)，即g(x)?(1?k)x?e?x， xe(1?k)ex?1所以 g?(x)?． xe1①当k?1时，g(x)?x?0，满足y?kx?1与f(x)无交点；
e1111②当k?1时，g()?(1?k)?e1?k?e1?k?1，
k?1k?1111?k而?0，e?1， 1?k1所以g()?0，此时不满足y?kx?1与f(x)无交点．
k?1令g(x)?x?1?(1?k)ex?1③当k?1时，令g?(x)??0 ， 则x??ln(1?k)， xe当x?(??,?ln(1?k))时，g?(x)?0，g(x)在(??,?ln(1?k))上单调递减； 当x?(?ln(1?k),??)时，g?(x)?0，g(x)在(?ln(1?k),??)上单调递增； 当x??ln(1?k)时，g(x)min?g(?ln(1?k))?(1?k)(1?ln(1?k))． 由 (1?k)(1?ln(1?k))?0 得1?e?k?1，
即y?kx?1与f(x)无交点． 综上所述
点． ?????13分
19. 解：（Ⅰ）由题意知：c=当k?(1?e,1]时，
y?kx?1与f(x)无交
3．
根据椭圆的定义得：2a=(-3-113)2+()2+，
22即a=2． 所以 b2=4-3=1． 所
以
椭
圆
C的标准方程为
x2?y2?1． ?????4分 4橡皮网 - 正确地成长（www.xiangpi.com）
（Ⅱ）由题意知，△ABC的面积S?ABC=整理得 ?=|OP|?21?|AB|?4， |AB|?|OP|=22|OP|4． |AB|① 当直线l的斜率不存在时，l的方程是x?3． 此时 |AB|=1，|OP|?3，所以 ?=|OP|?24=?1． |AB|3)，
②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 y=k(x-设A(x1,y1)，B(x2,y2)．
2ì?x2??+y=1由 í4 可得 (4k2+1)x2-83k2x+12k2-4=0．
?????y=k(x-3)ì?83k2?x1+x2=-,?2?4k+1显然?>0，则 ? í2?12k-4??xx=.122?4k+1??因为 y1=k(x1-所以 |AB|=3)，y2=k(x2-3)，
(x1-x2)2+(y1-y2)2=22(k2+1)(x1-x2)2
=2k2+1(k+1)[(x1+x2)-4x1x2]=42．
4k+13k2)=2所以 |OP|=(， 2k+1k+1|-3k|23k24k2?1此时，?=2?=?1．
k?1k2?1?综上所述，
?1． ?????14分
20. 解：（Ⅰ）当??0时，设bn?an?为定值
1， ??11an?b??1． 则 当n?2时，n?bn?1a?1n?1??1因为 an??an?1?1，
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所以
bn?bn?1?an?1?1??11?an?1??(an?1?)??1??1??1????为常数． 111an?1?an?1?an?1???1??1??11???0， ??1??11?所以 数列{an?，公比为?的等比数}是首项为
??1??1因为 a1?列． ?????4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
??2时{an?1}为首项为
nn???1，公比为?的是等比数列，
所以an?1?2． nan?n2?n． 设An?1?2?2?2?则2An?1?2?2?2?相减得An??2?2?设Bn?1?2?2232?n?2n， ?n?2n?1．
?2n?n?2n?1?(n?1)?2n?1?2．
n2n?n??，
22n?1Sn?An?Bn?(n?1)?2即
n2n?2??．
22Sn?(n?1)?2n?1n2n?2??． ?????9分
22（Ⅲ）由（Ⅰ）可知an????1n?n?11?n?1． ????1??1n设cn?(??1)an???1?(2?1)?1， 由二项式定理可知(2?1)n?(?2?1)n为整数，
nn??(2?1)?(?2?1)?2,n?2k, (k?N*)． 所以[cn]??nn??(2?1)?(?2?1)?1,n?2k?1.所以
n[cn?](?2??1)?
n3?(n1) ?????13分 ．?(?21 )22（若用其他方法解题，请酌情给分）
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