高等数学A（2）复习题
一、多元函数微分学 1．求极限 （1）
1?xy?1sinxy； （2）lim；
(x,y)?(0,2)(x,y)?(0,0)xxylim（3）
(x,y)?(0,0)lim(x2?y2)1?cosx2?y222； （4）
ln(1?xy)；
(x,y)?(1,0)xyex?ylim115x（5）lim(x?y)sin2； （6）lim(1?xy)； 2(x,y)?(0,0)(x,y)?(0,2)x?y（7）
(x,y)?(0,2)limxarcsinxy； （8）
1(x,y)?(,1)3limarcsinxyx；
exy?1125（9）lim； （10）lim(x?y)cos2 2(x,y)?(0,2)sinx(x,y)?(0,0)x?y2．求全微分、偏导数
（1）z?exsin(1?y2)，求dz； （2）z?x，求dz； （3）u?arctan?y，求du； （4）z?eyxyzxy，求dz(2,3)；
（5）设函数f具有一阶连续偏导数，y?f(cos2x,ex)，求
dy； dx（6）设z?f(2x?y,ysinx) ，其中f具有连续的偏导数，求：
?z?z,； ?x?y（7）设z?f(2x,ysinx,ex?2y) ，其中f具有连续的偏导数，求：
?f?f,； ?x?yz2（8）设z?z(x,y)是由方程 e?xyz?3 确定的隐函数，求
?z?z,。 ?x?y3．求切线方程、切平面方程、法线及法平面方程
（1）求曲线x?sint?t,y?cost,z?e?1 在点（0，1，0）处的切线方程和法平面方程。 （2）求曲面 e?2z?xy?7 在点（2，3，0）处的切平面方程和法线。
（3）在曲面z?xy上求一点，使这点处的法线垂直于平面x?3y?z?9?0，并写出该法
1
zt线方程。
（4）设曲面z?exy，求它在一点(2,1,e)处的切平面和法线方程。
24．求方向导数与梯度
（1）函数z?x2?y2?xy在点(?1,1)处沿什么方向的方向导数最大？最大方向导数的值是多少？
（2）求函数 u?ln(xey?yz2?z) 在点A（1，0，1）处方向导数的最大值和方向导数取
最大值的方向，并求在点A（1，0，1）处沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数。 5．求函数极值、应用拉格朗日乘数法求实际最值问题 （1）求函数 z?1?x3?y3?3x2?3y2 的极值。
（2）求函数z?xy在条件x?y?1下的极大值。（应用拉格朗日乘数法） （3）在曲面z?格朗日乘数法）
（4）设销售收入R（单位：万元）与花费在两种广告宣传上的费用x,y（单位：万元）之
2?x2?4y2上求一点，使它到平面x?2y?3z?1的距离最近。（应用拉
间的关系为：R?200x100y?，利润额相当于五分之一的销售收入，并要扣除广告费用，x?510?y已知广告费用总预算金是25万元，试问如何分配两种广告费用可使利润最大。（应用拉格朗日乘数法）
二、重积分与应用
1．二重积分计算与应用
（1）设D由y?1?x2和y?0所围成，求
2（2）设D由y?x与y?x所围成，求
??Dx2?y2d?。
??xdxdy。
D（3）交换积分次序
12?10dx?xxsinydy。 y（4）计算
??1dx?0y?2x2dy。
22（5）设平面薄片所占的闭区域D为 1?x?y?4，它的面密度?(x,y)?1?x?y，求
该平面薄片的质量。
2
y2?1,y?0确定，求薄片的质心（??1）（6）设均匀薄片由x?。 42（7）设f(x,y)连续，且f(x,y)?x2?y2???f(x,y)dxdy，其中D是圆形区域
Dx2?y2?4，求f(x,y)。
2．三重积分计算与应用
要熟悉平面，锥面，旋转抛物面，球面，圆柱面的方程 （1）设?是由三个坐标平面与平面x?y?z?1所围成，求积分 （2）计算的区域。 （3）计算
222?，其中是由与平面z?1所围成的区域。 z?x?y(z?xy)dxdydz??????2x?dv。
?????(x2?y2)dxdydz，其中?是由z?1?x2?y2与平面z?0所围成
（4）计算重积分围成的闭区域。
2222?(z?x?y)dv，其中是由圆柱面x?y?1和平面z?0,z?1所????（5）求由球面z?（6）计算重积分
4?x2?y2和圆锥面z?x2?y2所围成的立体的体积。
2222?(z?x?y)dv，其中是由圆柱面x?y?1和平面z?0,z?1所????22围成的闭区域。设?为曲面z?x?y与z?x2?y2围成的封闭区域，它的密度函
数为?(x,y,z)?z，求?关于z轴的转动惯量。 三、曲线、曲面积分
1．求第一类曲线积分（对弧长的曲线积分） （1）设L为上半圆周y?4?x2，求?eLx2?y2ds。
（2）设L是连接点（0，0）与点（1，2）的直线段，求（3）计算曲线积分
?L(x?y)ds。
?(x?y?z)ds，其中?是连接点A(1,1,1)与点B(3,2,2)的直线段。
?2．求第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）
（1）设曲线L为抛物线y?x上从点(0,0)到点(1,1)一段弧，求曲线积分（2）设?是从（1，1，1）到（2，3，4）的直线段，求 3．应用格林公式 （1）计算
2?L(x2?y2)dx。
??xdx?ydy?zdz。
?L(1?x2?y3)dx?(x?x3?y3)dy，其中L为圆周x2?y2?4，取正
3
向。
（2）计算曲线积分
?L(1?3x?y2cosx)dx?(x?2ysinx?2y2)dy，其中L是沿上半圆周
y?a2?x2(a?0)从点A(a,0)到点B(?a,0)的一段弧。
4．求第一类曲面积分（对面积的曲面积分） （1）求曲面z?x2?y2被曲面z?2?（2）设?为曲面z?x2?y2所截下的那部分曲面的面积。
x2?y2(0?z?1)，求??(x?y?z)dS。
?25．求第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） （1）计算曲面积分分，取上侧。 （2）计算曲面积分
2222zz?x?y，其中是由曲面 ydydz?zdzdx?(x?y?e)dxdy?????zdxdy，其中?为抛物面 z?x?3?y2介于平面z?0,z?1之间的部
?与平面z?1所围成立体的表面，取外侧。 四、无穷级数
1．判断下列级数的敛散性
3??nn2?1n（1）?(?1)n?1。 （2）?(?1)。
32n?3n?1n?1??n??sinn?（3）?。 （4）?2nn?1n?1??cos2n?4?4。 （5）n。
?n2?nn?1n!?2．若幂级数
?an?0?n(x?1)在x??2处收敛，判断幂级数?anxn在x?2处的收敛性。
nn?03．将函数 f(x)?e4． 将函数f(x)?2x?1 在 x?1 处展开为幂级数，并求收敛域。
1展开成(x?3)的幂级数，并求其收敛域。 x15．将函数f(x)?2展开为 x?1 的幂级数，并求收敛域。
x?3x?226．将函数 f(x)?ln(x?3x?2) 展开为 x?2 的幂级数，并求收敛域。
?7．求幂级数
?n?(x?2)n?1n的收敛域。
xn?18．求幂级数?n的收敛域，并求和函数。
n?04(n?1) 4
nxn?18．求幂级数?(?1)的收敛域，并求和函数 n3n?1?n?1,9．将函数 f(x)???x,0?x?2a0? 展开为余弦级数??ancosnx，讨论此余弦级
2?x??2n?1数的收敛于f(x)情况，并求出余弦级数的和函数。（不必求出余弦级数的具体形式）
10．将函数f(x)????x?x???x?0 展开为傅里叶级数，求系数a1。
0?x??
五、微分方程
1．求下列微分方程的通解 （1）
dydy?3xy?xy2； （2）x?y?2xy；（x?0） dxdx3（3）(1?y2)dx?(xy?2y)dy?0 （4）(x?x3y2)dy?5ydx?0；
（5）4xy??y?x2y4?0； （6）(1?x2)y???2xy?； （6）y????cos2x
??ycosx?y??2．求微分方程初值问题的解：?xx。
??y(?)?13．二阶线性常系数齐次微分方程的通解为 y?e(c1cos2x?c2sin2x)，求此微分方程。 4．求微分方程 y(4)x?2y????5y???0 的通解。
?x5．求微分方程 y???2y??y?e 的通解。 （考虑y???3y??2y?2e?x和y???5y??6y?3e?x和 的通解。）
6．y???3y??2y?3cosx?sinx 的通解。
7．已知连续可微函数f(x)满足f(0)?1，且使曲线积分
?
L[1?yex?3yf(x)]dx?[y2?f(x)]dy与路径无关，求f(x)。
8．设函数f(x)连续，且满足f(x)?ex??x0tf(t)dt?x?f(t)dt，求f(x)。
0x5