2012年中考数学函数知识点 a?0 向下 ?0，c? y轴 x?0时，y随x的增大而减小；x?0时，y随
x的增大而增大；x?0时，y有最大值c．
3. y?a?x?h?2的性质：
结论：左加右减。同左上加，异右下减 总结：
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a?0 向上 ?h，0? X=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． a?0 向下 ?h，0? X=h x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0．
4. y?a?x?h?2?k的性质：
总结：
a的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
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2012年中考数学函数知识点 a?0 向上 ?h，k? k? ?h，X=h x?h时，y随x的增大而增大；x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?h时，y随a?0 向下 X=h x的增大而增大；x?h时，y有最大值k． 二次函数图象的平移 1. 平移步骤：
k?； ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y?a?x?h??k，确定其顶点坐标?h，2⑵ 保持抛物线y?ax2的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法如下：
向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k
2. 平移规律
在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．
概括成八个字“同左上加，异右下减”．
三、二次函数y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c的比较
请将y?2x?4x?5利用配方的形式配成顶点式。请将y?ax2?bx?c配成y?a?x?h??k。
222总结：
从解析式上看，y?a?x?h??k与y?ax2?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前b?4ac?b2b4ac?b2?者，即y?a?x???，其中h??，． k?2a?4a2a4a?22
四、二次函数y?ax2?bx?c图象的画法
五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax2?bx?c化为顶点式y?a(x?h)2?k，确定其开口方向、
对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴c?、以及?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴的交点?0，没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.
画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.
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2012年中考数学函数知识点
五、二次函数y?ax2?bx?c的性质
?b4ac?b2?b 1. 当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为x??，顶点坐标为??，?．
2a4a2a??当x??bbb时，y随x的增大而减小；当x??时，y随x的增大而增大；当x??时，y有最2a2a2a4ac?b2小值．
4a?b4ac?b2?bb 2. 当a?0时，抛物线开口向下，对称轴为x??，顶点坐标为??，．当时，yx???2a4a2a2a??4ac?b2bb随x的增大而增大；当x??时，y随x的增大而减小；当x??时，y有最大值．
2a2a4a
六、二次函数解析式的表示方法
1. 一般式：y?ax2?bx?c（a，b，c为常数，a?0）；
2. 顶点式：y?a(x?h)2?k（a，h，k为常数，a?0）；
3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）.
注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，
只有抛物线与x轴有交点，即b2?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.
七、二次函数的图象与各项系数之间的关系
1. 二次项系数a
二次函数y?ax2?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0．
⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大； ⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．
总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b
在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下， 当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴左侧；ab同号同左上加 2a
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2012年中考数学函数知识点 当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的右侧．a,b异号异右下减 2a⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即 当b?0时，?当b?0时，?当b?0时，?b?0，即抛物线的对称轴在y轴右侧；a,b异号异右下减 2ab?0，即抛物线的对称轴就是y轴； 2ab?0，即抛物线对称轴在y轴的左侧．ab同号同左上加 2a
总结起来，在a确定的前提下，b决定了抛物线对称轴的位置． 总结：
同左上加 异右下减
3. 常数项c
⑴ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当c?0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当c?0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．
b，c都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 总之，只要a，二次函数解析式的确定：
根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：
1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；
2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．
二、二次函数图象的对称
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x轴对称
y?a2x?bx?关于cx轴对称后，得到的解析式是y??ax2?bx?c；
y?a?x?h??k关于x轴对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k； 2. 关于y轴对称
x?bx?关于cy轴对称后，得到的解析式是y?ax2?bx?c； y?a222y?a?x?h??k关于y轴对称后，得到的解析式是y?a?x?h??k； 3. 关于原点对称
x?bx?关于原点对称后，得到的解析式是cy??ax2?bx?c； y?a222 y?a?x??h?关于原点对称后，得到的解析式是ky??a?x?h??k； 4. 关于顶点对称
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222012年中考数学函数知识点 b2 y?ax?bx?关于顶点对称后，得到的解析式是cy??ax?bx?c?；
2a22y?a?x?h??k关于顶点对称后，得到的解析式是y??a?x?h??k． n?对称 5. 关于点?m，22n?对称后，得到的解析式是y??a?x?h?2m??2n?k y?a?x?h??k关于点?m，22 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定
原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．
二次函数与一元二次方程：
1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x轴交点情况）：
一元二次方程ax2?bx?c?0是二次函数y?ax2?bx?c当函数值y?0时的特殊情况. 图象与x轴的交点个数：
① 当??b2?4ac?0时，图象与x轴交于两点A?x1，0?，B?x2，0?(x1?x2)，其中的x1，x2是一元二次b2?4ac方程ax?bx?c?0?a?0?的两根．这两点间的距离AB?x2?x1?.
a2② 当??0时，图象与x轴只有一个交点； ③ 当??0时，图象与x轴没有交点.
1' 当a?0时，图象落在x轴的上方，无论x为任何实数，都有y?0；
2'当a?0时，图象落在x轴的下方，无论x为任何实数，都有y?0． 2. 抛物线y?ax2?bx?c的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，c)；
3. 二次函数常用解题方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；
⑶ 根据图象的位置判断二次函数y?ax2?bx?c中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
??0抛物线与x轴 有两个交点 只有一个交点 二次三项式的值可正、可零、可负 二次三项式的值为非负 一元二次方程有两个不相等实根 一元二次方程有两个相等的实数根 ??0抛物线与x轴 20
2012年中考数学函数知识点 ??0抛物线与x轴 无交点 二次三项式的值恒为正 一元二次方程无实数根. ⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2?bx?c(a?0)本身就是所含字母x的二次函数；下面以a?0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：
y=2x2y=x22y=x2 y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2
y= -x22y= -x2y=-2x2
y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)221